《2025年学习之友八年级数学上册北师大版》

1. 下列叙述中正确的是(C).
A.因为 $6^2 + 10^2 \neq 8^2$,所以以 $6$,$8$,$10$ 为边的三角形不是直角三角形
B.$\triangle ABC$ 中,$\angle A$、$\angle B$、$\angle C$ 的对边分别为 $a$,$b$,$c$,若 $c^2 - b^2 = a^2$,则 $\angle A = 90^{\circ}$
C.如果一个三角形的两边的平方差等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形
D.直角三角形中,任意两边的平方和等于第三边的平方

答案： C

2. 下列各组数中,是勾股数的一组是(D).
A.$0.3$,$0.4$,$0.5$
B.$8$,$15$,$16$
C.$\frac{3}{5}$,$\frac{4}{5}$,$1$
D.$9$,$40$,$41$

答案： D

3. 如果直角三角形的三条边同时扩大到原来的 $5$ 倍,那么所得的新三角形是(C).
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形

答案： C

4. 木工做一个长方形桌面,量得桌面的长为 $60$ cm,宽为 $32$ cm,对角线为 $68$ cm,这个桌面合格(填“合格”或“不合格”).

答案： 合格

5. 已知 $(x - 7)^2 + |y - 24| + (z - 25)^2 = 0$,则以 $x$,$y$,$z$ 为边的三角形是直角三角形.

答案： 直角（题中为填空题，则填“直角”）

6. 如图所示的一块地,已知 $AD = 4$ 米,$CD = 3$ 米,$\angle ADC = 90^{\circ}$,$AB = 13$ 米,$BC = 12$ 米,求这块地的面积.

答案： 连接$AC$。
由于$AD = 4$（米），$CD = 3$（米），$\angle ADC = 90^{\circ}$，
根据勾股定理，有：
$AC = \sqrt{AD^{2} + CD^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$（米）。
又因为$AB = 13$（米），$BC = 12$（米），
根据勾股定理的逆定理，若$AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}$，则$\angle ACB$为直角，
计算得：
$AC^{2} + BC^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169 = 13^{2} = AB^{2}$。
所以，$\angle ACB = 90^{\circ}$。
三角形$ABC$的面积：
$S_{\bigtriangleup ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 5 × 12 = 30$（平方米）。
三角形$ACD$的面积：
$S_{\bigtriangleup ACD} = \frac{1}{2} × AD × CD = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6$（平方米）。
这块地的面积为：
$S = S_{\bigtriangleup ABC} - S_{\bigtriangleup ACD} = 30 - 6 = 24$（平方米）。
所以，这块地的面积24平方米。

7. 若 $\triangle ABC$ 的三边长为 $a$,$b$,$c$,且 $a^2 + b^2 + c^2 + 50 = 10a + 6b + 8c$,试判断 $\triangle ABC$ 的形状,并说明理由.

答案： 解：
将方程变形：$a^2 - 10a + b^2 - 6b + c^2 - 8c + 50 = 0$
配方得：$(a^2 - 10a + 25) + (b^2 - 6b + 9) + (c^2 - 8c + 16) = 0$
即：$(a - 5)^2 + (b - 3)^2 + (c - 4)^2 = 0$
∵平方数非负，
∴$a - 5 = 0$，$b - 3 = 0$，$c - 4 = 0$
解得：$a = 5$，$b = 3$，$c = 4$
∵$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，即$b^2 + c^2 = a^2$
∴$\triangle ABC$是直角三角形。
结论：直角三角形

1. 给出下列各组数：
① $a = 41$,$b = 40$,$c = 9$；
② $a = 1.5$,$b = 2$,$c = 2.5$；
③ $a = \frac{5}{4}$,$b = 1$,$c = \frac{3}{4}$；
④ $a = 6$,$b = 8$,$c = 12$.
其中能组成直角三角形三边长的有：①②③(填序号).

答案： ①②③

2. 给出下列各组数：① $4$,$5$,$6$；② $8$,$12$,$15$；③ $8$,$15$,$17$；④ $10$,$24$,$26$. 其中勾股数有③④(填序号).

答案： ③④