《2025年学习之友八年级数学上册北师大版》

6. 如图 ①,在 $\triangle AOB$ 中,$\angle AOB = 90^{\circ}$,$OA = 3$,$OB = 4$。将 $\triangle AOB$ 沿 $x$ 轴依次以点 $A$,$B$,$O$ 为旋转中心顺时针旋转,分别得到图 ②,图 ③……则旋转得到的图 ⑩ 的直角顶点的坐标为(36,0)。

答案： (36,0)

7. 在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC = 13$,$BC = 24$,请你建立适当的平面直角坐标系,并求出 $A$,$B$,$C$ 各点的坐标。

答案： 以$BC$所在直线为$x$轴，$BC$的垂直平分线为$y$轴，建立平面直角坐标系。
因为$BC=24$，所以$B$、$C$两点到原点的距离为$12$，则$B(-12,0)$，$C(12,0)$。
设$A(0,y)$，因为$AB=13$，由勾股定理得：$AB^{2}=12^{2}+y^{2}=13^{2}$，即$144 + y^{2}=169$，$y^{2}=25$，解得$y = 5$（$y=-5$舍去，因为三角形顶点在$y$轴正半轴），所以$A(0,5)$。
综上，$A(0,5)$，$B(-12,0)$，$C(12,0)$。

1. 已知等边 $\triangle ABC$ 的两个顶点坐标为 $A(-4,0)$,$B(2,0)$。求：
(1)$C$ 点的坐标；
(2)$\triangle ABC$ 的面积。

答案：

(1)C(-1,±3$\sqrt{3}$)
(2)9$\sqrt{3}$
解：
(1)在等边△ABC中
　　　　　　　
AB=AC=BC=6
∵CD⊥AB
∴AD=BD=3
在Rt△ADC中
CD²=AC²-AD²=6²-3²=27
∴CD=3$\sqrt{3}$
∴C(-1,±3$\sqrt{3}$)
(2)S△ABC=$\frac{1}{2}$·AB·CD
=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$

2. $Rt\triangle OAB$ 的斜边 $AO$ 在 $x$ 轴的正半轴上,直角顶点 $B$ 在第四象限内,$S_{\triangle OAB} = 20$,$OB:AB = 1:2$,求 $A$,$B$ 两点的坐标。

答案：
A(10,0),B(2,-4)
解：在Rt△AOB中，OB:AB=1:2
设OB=x,AB=2x,由勾股定理得：
OA²=OB²+AB²
=x²+(2x)²=5x²
∴OA=$\sqrt{5}$x
∵S△OAB=20
∴$\frac{1}{2}$·OB·AB=20
$\frac{1}{2}$·x·2x=20 x²=20 x=2$\sqrt{5}$.
∴OA=$\sqrt{5}$x=10,
∴A(10,0)
　　　　　　
过点B作BD⊥OA
∴$\frac{1}{2}$·BD·OA=20
$\frac{1}{2}$·BD·10=20,BD=4.
在Rt△BDO中，
OD²=OB²-BD²
=(2$\sqrt{5}$)²-4²=20-16=4
∴OD=2
∴B(2,-4)

3. 正方形 $ABFG$ 和正方形 $CDEF$ 的顶点在边长为 $1$ 的正方形格点上。
(1)建立平面直角坐标系,使点 $B$,$C$ 的坐标分别为 $(0,0)$ 和 $(5,0)$,写出点 $A$,$D$,$E$,$F$,$G$ 的坐标。
(2)$BE$ 和 $GC$ 相等吗？为什么？

答案：
(1)A(-3,4),D(8,1),E(7,4),F(4,3),G(1,7)
(2)答：BE=CG
理由：在正方形ABFG和CDEF中，
∠BFG=∠CFE=90°
∴∠BFG+∠BFC=∠CFE+∠BFC
∴∠GFC=∠BFE
∵GF=BF,CF=EF
∴△GFC≌△BFE(SAS),
∴GC=BE