《2025年学习之友八年级数学上册北师大版》

3. 解二元一次方程组$\begin{cases}4x - 5y = 17,\\4x + 7y = -19\end{cases} $时,用代入消元法整体消去$4x$,得到的方程是(C)。
A.$2y = -2$
B.$2y = -36$
C.$12y = -36$
D.$12y = -2$

答案： C

4. 方程$mx + ny = 1的两个解是\begin{cases}x = -1,\\y = 2,\end{cases} \begin{cases}x = 1,\\y = 3,\end{cases} 则m = $$-\frac{1}{5}$,$n = $$\frac{2}{5}$。

答案： $-\frac{1}{5}$ $\frac{2}{5}$

5. 已知$\begin{cases}x = a,\\y = b\end{cases} 是方程组\begin{cases}x - 2y = 0,\\2x + y = 5\end{cases} $的解,则$3a - b = $5。

答案： 5

6. 若$y = kx + b$,当$x = 4$时,$y = -10$；当$x = -3$时,$y = 25$,求$k和b$的值。

答案： $\left\{\begin{array}{l}k=-5\\b=10\end{array}\right.$解:根据题意得$\left\{\begin{array}{l}4k+b=-10\\-3k+b=25\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}k=-5\\b=10\end{array}\right.$

7. 用代入法解下列二元一次方程组。
(1) $\begin{cases}x + 2y = 1,\\3x - 3y = 11;\end{cases} $
(2) $\begin{cases}3x + 7y = 4,\\-5x - y = 1;\end{cases} $
(3) $\begin{cases}2x - y = -3,\\3x + 4y = 7;\end{cases} $
(4) $\begin{cases}\frac{x}{3} + 1 = y,\\2(x + 1) - y = 6.\end{cases} $

答案： $(1)$ 解方程组$\begin{cases}x + 2y = 1\\3x - 3y = 11\end{cases}$
- **步骤一：用$y$表示$x$
由方程$x + 2y = 1$可得$x = 1 - 2y$。
- **步骤二：代入求解$y$
将$x = 1 - 2y$代入$3x - 3y = 11$中，得到$3(1 - 2y)-3y = 11$。
展开括号得$3 - 6y - 3y = 11$。
合并同类项得$3 - 9y = 11$。
移项得$-9y = 11 - 3$，即$-9y = 8$。
解得$y = -\frac{8}{9}$。
- **步骤三：求解$x$
把$y = -\frac{8}{9}$代入$x = 1 - 2y$，得$x = 1 - 2×(-\frac{8}{9}) = 1+\frac{16}{9}=\frac{25}{9}$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=\frac{25}{9}\\y = -\frac{8}{9}\end{cases}$。
$(2)$ 解方程组$\begin{cases}3x + 7y = 4\\-5x - y = 1\end{cases}$
- **步骤一：用$x$表示$y$
由方程$-5x - y = 1$可得$y = -5x - 1$。
- **步骤二：代入求解$x$
将$y = -5x - 1$代入$3x + 7y = 4$中，得到$3x + 7(-5x - 1)=4$。
展开括号得$3x - 35x - 7 = 4$。
合并同类项得$-32x - 7 = 4$。
移项得$-32x = 4 + 7$，即$-32x = 11$。
解得$x = -\frac{11}{32}$。
- **步骤三：求解$y$
把$x = -\frac{11}{32}$代入$y = -5x - 1$，得$y = -5×(-\frac{11}{32})-1=\frac{55}{32}-1=\frac{23}{32}$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = -\frac{11}{32}\\y=\frac{23}{32}\end{cases}$。
$(3)$ 解方程组$\begin{cases}2x - y = -3\\3x + 4y = 7\end{cases}$
- **步骤一：用$x$表示$y$
由方程$2x - y = -3$可得$y = 2x + 3$。
- **步骤二：代入求解$x$
将$y = 2x + 3$代入$3x + 4y = 7$中，得到$3x + 4(2x + 3)=7$。
展开括号得$3x + 8x + 12 = 7$。
合并同类项得$11x + 12 = 7$。
移项得$11x = 7 - 12$，即$11x = -5$。
解得$x = -\frac{5}{11}$。
- **步骤三：求解$y$
把$x = -\frac{5}{11}$代入$y = 2x + 3$，得$y = 2×(-\frac{5}{11})+3=-\frac{10}{11}+3=\frac{23}{11}$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = -\frac{5}{11}\\y=\frac{23}{11}\end{cases}$。
$(4)$ 解方程组$\begin{cases}\frac{x}{3}+1 = y\\2(x + 1)-y = 6\end{cases}$
- **步骤一：代入消元
将$y = \frac{x}{3}+1$代入$2(x + 1)-y = 6$中，得到$2(x + 1)-(\frac{x}{3}+1)=6$。
- **步骤二：求解$x$
展开括号得$2x + 2 - \frac{x}{3}-1 = 6$。
合并同类项得$\frac{5}{3}x + 1 = 6$。
移项得$\frac{5}{3}x = 6 - 1$，即$\frac{5}{3}x = 5$。
解得$x = 3$。
- **步骤三：求解$y$
把$x = 3$代入$y = \frac{x}{3}+1$，得$y = \frac{3}{3}+1 = 2$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$。
综上，$(1)$的解为$\begin{cases}x=\frac{25}{9}\\y = -\frac{8}{9}\end{cases}$；$(2)$的解为$\begin{cases}x = -\frac{11}{32}\\y=\frac{23}{32}\end{cases}$；$(3)$的解为$\begin{cases}x = -\frac{5}{11}\\y=\frac{23}{11}\end{cases}$；$(4)$的解为$\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$。

先阅读材料,然后解方程组。
材料：解方程组$\begin{cases}x - y - 1 = 0,①\\4(x - y) - y = 5②\end{cases} $时,可由①得$x - y = 1$③,然后再将③代入②得$4×1 - y = 5$,求得$y = -1$,从而进一步求得$\begin{cases}x = 0,\\y = -1,\end{cases} $这种方法被称为“整体代入法”。请用这样的方法解下列方程组：
$\begin{cases}2x - 3y - 2 = 0,\frac{2x - 3y + 5}{7} + 2y = 9.\end{cases} $

答案： 解：由$2x - 3y - 2 = 0$得$2x - 3y = 2$ ③
将③代入$\frac{2x - 3y + 5}{7} + 2y = 9$得：
$\frac{2 + 5}{7} + 2y = 9$
$1 + 2y = 9$
$2y = 9 - 1$
$2y = 8$
$y = 4$
把$y = 4$代入③得：$2x - 3×4 = 2$
$2x - 12 = 2$
$2x = 2 + 12$
$2x = 14$
$x = 7$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 7\\y = 4\end{cases}$。