《2025年学习之友八年级数学上册北师大版》

8. 每个小正方形的边长均为 1。

(1) 图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？
(2) 估计边长的值在哪两个整数之间。

答案：
(1) 面积：设阴影部分为正方形，所在网格为4×4的大正方形，面积为4×4=16。大正方形四角有4个全等直角三角形，每个三角形直角边为1和3，面积为(1×3)/2=1.5，4个三角形总面积为4×1.5=6。阴影面积=16-6=10。边长=√10。
(2) 因为√9=3，√16=4，且9＜10＜16，所以3＜√10＜4，即边长在3和4之间。
(1) 面积是10，边长是√10；
(2) 3和4。

1. 用计算器探索：
(1) $ \sqrt{121(1+2+1)}=$22；
(2) $ \sqrt{12321(1+2+3+2+1)}=$333；
(3) $ \sqrt{1234321(1+2+3+4+3+2+1)}=$4444。
由此猜想：
$ \sqrt{12345654321(1+2+3+4+…+3+2+1)}=$666666。

答案：
(1)
首先计算括号内$1 + 2 + 1=4$，
则$\sqrt{121(1 + 2 + 1)}=\sqrt{121×4}$
因为$\sqrt{121}=11$，$\sqrt{4}=2$，
所以$\sqrt{121×4}=11×2 = 22$。
(2)
先计算括号内$1+2 + 3+2+1=9$，
$\sqrt{12321(1 + 2+3+2+1)}=\sqrt{12321×9}$
因为$\sqrt{12321}=111$，$\sqrt{9}=3$，
所以$\sqrt{12321×9}=111×3=333$。
(3)
先计算括号内$1+2+3+4+3+2+1 = 16$，
$\sqrt{1234321(1 + 2+3+4+3+2+1)}=\sqrt{1234321×16}$
因为$\sqrt{1234321}=1111$，$\sqrt{16}=4$，
所以$\sqrt{1234321×16}=1111×4 = 4444$。
由此猜想：
先计算括号内$1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=(1 + 5)×5+6+ 6×2÷2=36$（根据等差数列求和公式$S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，这里$n = 6$，$a_1=1,a_n = 6$，再加上中间的$6$），
$\sqrt{12345654321(1 + 2+3+4+\cdots+3+2+1)}=\sqrt{12345654321×36}$
因为$\sqrt{12345654321}=111111$，$\sqrt{36}=6$，
所以$\sqrt{12345654321×36}=111111×6=666666$。
答案依次为：
(1)$22$；
(2)$333$；
(3)$4444$；$666666$。

2. 用计算器探索,已知按一定规律排列的一组数：$ 1, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, …, \frac{1}{\sqrt{19}}, \frac{1}{\sqrt{20}} $。如果从中选出若干个数,使它们的和大于 3,那么至少要选 5 个数。

答案： 5

3. 一段圆钢,长 2 分米,体积为 $ 10\pi $ 立方分米,已知 1 立方分米钢的质量是 7.8 千克,那么这段圆钢横断面的半径是多少分米？这段圆钢重多少千克？(结果精确到 0.01)

答案： 解：设圆钢横断面半径为$r$分米。
圆柱体积公式：$V = \pi r^2 h$，已知$V = 10\pi$，$h = 2$，
则$\pi r^2 × 2 = 10\pi$，
两边同除以$\pi$：$2r^2 = 10$，
$r^2 = 5$，
$r = \sqrt{5} \approx 2.24$（分米）。
圆钢质量：$10\pi × 7.8 \approx 10× 3.1416× 7.8 \approx 244.92$（千克）。
答：横断面半径约2.24分米，圆钢重约244.92千克。