《2025年学习之友八年级数学上册北师大版》

11. 请在由边长为$1$的小正三角形组成的虚线网格中分别画出三个满足条件的等腰三角形,所有顶点均要在格点上：

(1)有一条边长为无理数；
(2)有两条边长为无理数；
(3)三条边长都为无理数.

答案：

无限循环小数如何化为分数呢？请你仔细阅读下面的例题.
例题：把$0.\dot{3}和0.2\dot{1}\dot{7}$化为分数.
解：因为$0.\dot{3} × 10 = 3.\dot{3}$,
所以$0.\dot{3} × 10 - 0.\dot{3} = 3.\dot{3} - 0.\dot{3}$,
$0.\dot{3} × ( 10 - 1 ) = 3$
$0.\dot{3} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.
解：因为$0.2\dot{1}\dot{7} × 10 = 2.\dot{1}\dot{7}$,①
$0.2\dot{1}\dot{7} × 1000 = 217.\dot{1}\dot{7}$,②
所以由②$-$①得
$0.2\dot{1}\dot{7} × 1000 - 0.2\dot{1}\dot{7} × 10 = 217.\dot{1}\dot{7} - 2.\dot{1}\dot{7}$,
$0.2\dot{1}\dot{7} × ( 1000 - 10 ) = 215$
$0.2\dot{1}\dot{7} = \dfrac{215}{990} = \dfrac{43}{198}$.
请用以上方法解决下列问题：
(1)把$0.\dot{1}\dot{7}$化为分数；
(2)把$0.4\dot{1}\dot{3}$化为分数.

答案：
(1)设 $x = 0.\dot{1}\dot{7}$，
$x × 100 = 17.\dot{1}\dot{7}$，
$100x - x = 17.\dot{1}\dot{7} - 0.\dot{1}\dot{7}$，
$99x = 17$，
$x = \frac{17}{99}$。
(2)设 $x = 0.4\dot{1}\dot{3}$，
$x × 10 = 4.\dot{1}\dot{3}$，
$x × 1000 = 413.\dot{1}\dot{3}$，
$1000x - 10x = 413.\dot{1}\dot{3} - 4.\dot{1}\dot{3}$，
$990x = 409$，
$x = \frac{409}{990}$。