《2025年学习之友八年级数学上册北师大版》

4. 方程$ 5x + 2y = - 9 $与下列方程构成的方程组的解为$\begin{cases} x = - 2, \\ y = \frac{1}{2} \end{cases} $的是(D)。
A.$ x + 2y = 1 $
B.$ 3x + 2y = - 8 $
C.$ 5x + 4y = - 3 $
D.$ 3x - 4y = - 8 $

答案： D

5. 若方程组$ \begin{cases} ax + y = 0, \\ x + by = 1 \end{cases} 的解是 \begin{cases} x = 1, \\ y = - 1, \end{cases} 那么 a $,$ b $的值是a=1,b=0。

答案： a=1,b=0

6. 两批货物,第一批 360 吨,用 5 节火车皮和 12 辆汽车正好装完；第二批 500 吨,用 7 节火车皮和 16 辆汽车正好装完。每节火车皮和每辆汽车平均各装货物多少吨？(列出方程)

答案： 解:设每节火车皮、每辆汽车分别装x吨,y吨,
则$\left\{\begin{array}{l} 5x+12y=360\\ 7x+16y=500\end{array}\right.$

7. 已知$ \begin{cases} x = 0, \\ y = 2 \end{cases} 与 \begin{cases} x = 3, \\ y = c \end{cases} 都是方程 x + y = b $的解,试求$ (b + c)^{100} $的值。

答案： 1
解:因为$\left\{\begin{array}{l} x=0,\\ y=2\end{array}\right.$是方程$x+y=b$的一个解,所以
$0+2=b$,得$b=2.$
因为$\left\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=c\end{array}\right.$是方程$x+y=b$的一个解,
所以$3+c=2$,解得$c=-1.$
所以$(b+c)^{100}=(2-1)^{100}=1.$

1. 如果$ 2x^{2a - 1} + 3y^{3a + 2b - 6} = 14 $是一个二元一次方程。
(1) 求$ a $,$ b $的值；
(2) 在(1) 的前提下用含$ x 的式子表示 y $；
(3) 直接写出满足(2) 的所有$ x $,$ y $的正整数解。

答案：
(1)$\left\{\begin{array}{l} a=1\\ b=2\end{array}\right.$
(2)$y=\frac {14-2x}{3}$
(3)$\left\{\begin{array}{l} x=1\\ y=4\end{array}\right. ,\left\{\begin{array}{l} x=4\\ y=2\end{array}\right.$
解:
(1)根据题意得:$\left\{\begin{array}{l} 2a-1=1\\ 3a+2b-6=1\end{array}\right. ,$
解得:$\left\{\begin{array}{l} a=1\\ b=2\end{array}\right. ;$
(2)方程为$2x+3y=14,$
解得:$y=\frac {14-2x}{3};$
(3)方程的正整数解为$\left\{\begin{array}{l} x=1\\ y=4\end{array}\right. ,\left\{\begin{array}{l} x=4\\ y=2\end{array}\right. .$

2. 把一根长 7 m 的钢管截成 2 m 和 1 m 两种规格的钢管(两种都有)。如果没有剩余,那么截法有几种？

答案： 三种
解:截下来的符合条件的钢管长度之和刚好等于总长7米时,不造成浪费,设截成2米长的钢管x根,1米长的y根,由题意得,$2x+y=7$,因为x,y都是正整数,所以符合条件的解为:
$\left\{\begin{array}{l} x=1\\ y=5\end{array}\right. ,\left\{\begin{array}{l} x=2\\ y=3\end{array}\right. ,\left\{\begin{array}{l} x=3\\ y=1\end{array}\right. ,$
所以有三种不同的截法.