《2025年学习之友八年级数学上册北师大版》

1. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB:BC:CA = 3:4:5$,它的周长为 $36$ cm,点 $P$ 从点 $A$ 出发沿 $AB$ 边向点 $B$ 以每秒 $1$ cm 的速度移动,点 $Q$ 从点 $B$ 出发沿 $BC$ 边向点 $C$ 以每秒 $2$ cm 的速度移动. 如果点 $P$,$Q$ 同时出发,那么经过 $3$ 秒时,$\triangle BPQ$ 的面积为多少？

答案： 设 $AB = 3x$ cm，$BC = 4x$ cm，$AC = 5x$ cm。
根据三角形的周长为 $36$ cm，有：
$3x + 4x + 5x = 36$，
$12x = 36$，
$x = 3$。
因此，$AB = 9$ cm，$BC = 12$ cm，$AC = 15$ cm。
由于 $3^2 + 4^2 = 5^2$（即 $9 + 16 = 25$），根据勾股定理的逆定理，$\triangle ABC$ 是直角三角形，且 $\angle B = 90°$。
点 $P$ 从 $A$ 出发，速度为每秒 $1$ cm，3 秒后移动的距离为 $3 × 1 = 3$ cm，所以 $BP = AB - AP = 9 - 3 = 6$ cm。
点 $Q$ 从 $B$ 出发，速度为每秒 $2$ cm，3 秒后移动的距离为 $3 × 2 = 6$ cm，即 $BQ = 6$ cm。
$\triangle BPQ$ 的面积 $S$ 可以用以下公式计算：
$S = \frac{1}{2} × BP × BQ = \frac{1}{2} × 6 × 6 = 18 cm^2$。
故答案为：经过 3 秒时，$\triangle BPQ$ 的面积为 $18 cm^2$。

2. 王老师在一次“构造勾股数”的探究性学习中,给出了下表：
 

其中,$m$,$n$ 为正整数,且 $m ＞ n$.
(1)观察表格,当 $m = 2$,$n = 1$ 时,对应的 $a$,$b$,$c$ 的值能不能为直角三角形三边的长？说明你的理由.
(2)探究 $a$,$b$,$c$ 与 $m$,$n$ 之间的关系,并用含 $m$,$n$ 的代数式表示：$a = $$m^{2}+n^{2}$,$b = $$2mn$,$c = $$m^{2}-n^{2}$.
(3)以 $a$,$b$,$c$ 为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是,请说明理由；如果不是,请举出反例.
(1)当$m = 2$，$n = 1$时，$a=2^{2}+1^{2}=5$，$b = 4$，$c=2^{2}-1^{2}=3$。
因为$3^{2}+4^{2}=9 + 16=25=5^{2}$，即$c^{2}+b^{2}=a^{2}$。
所以能为直角三角形三边的长。
(3)以$a$，$b$，$c$为边长的三角形一定为直角三角形。
理由：
因为$a^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}$，
$b^{2}+c^{2}=(2mn)^{2}+(m^{2}-n^{2})^{2}=4m^{2}n^{2}+m^{4}-2m^{2}n^{2}+n^{4}=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}$。
所以$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，根据勾股定理的逆定理，以$a$，$b$，$c$为边长的三角形一定为直角三角形。

答案：
(1)
当$m = 2$，$n = 1$时，$a=2^{2}+1^{2}=5$，$b = 4$，$c=2^{2}-1^{2}=3$。
因为$3^{2}+4^{2}=9 + 16=25=5^{2}$，即$c^{2}+b^{2}=a^{2}$。
所以能为直角三角形三边的长。
(2)
$a=m^{2}+n^{2}$，$b = 2mn$，$c=m^{2}-n^{2}$
(3)
以$a$，$b$，$c$为边长的三角形一定为直角三角形。
理由：
因为$a^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}$，
$b^{2}+c^{2}=(2mn)^{2}+(m^{2}-n^{2})^{2}=4m^{2}n^{2}+m^{4}-2m^{2}n^{2}+n^{4}=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}$。
所以$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，根据勾股定理的逆定理，以$a$，$b$，$c$为边长的三角形一定为直角三角形。