《2025年学习之友八年级数学上册北师大版》

3. 每个小正方形的边长为 $1$,$A$,$B$,$C$ 是小正方形的顶点,则 $\angle ABC$ 的度数为45°.

答案： 45°

4. 若 $15$,$36$,$x$ 三个数构成勾股数,则 $x = $39.

答案： $39$

5. 观察下列几组勾股数：$6$,$8$,$10$；$8$,$15$,$17$；$10$,$24$,$26$；$12$,$35$,$37$；…$$；$a$,$b$,$c$. 根据你的发现,写出当 $a = 20$ 时,$b = $99,$c = $101.

答案： $b = 99$，$c = 101$（由于要求答案填写格式，故写为）$99$；$101$。

6. 有四根木棒,长度分别为 $3$,$4$,$5$,$6$,若取其中的三根组成三角形,有4种取法,其中能组成直角三角形的三边的长度是3,4,5.

答案： 4；3,4,5

7. 一个三角形的三边之比为 $5:12:13$,且周长为 $60$ cm,则它的面积为$120\ cm^2$.

答案： 答题卡：
设三角形三边分别为 $5x$ cm，$12x$ cm，$13x$ cm。
根据周长为 $60$ cm，有：
$5x + 12x + 13x = 60$，
$30x = 60$，
$x = 2$。
代入 $x = 2$，得到三边实际长度为：
$10$ cm，$24$ cm，$26$ cm。
验证是否为直角三角形：
$10^{2} + 24^{2} = 100 + 576 = 676$，
$26^{2} = 676$。
因为 $10^{2} + 24^{2} = 26^{2}$，所以该三角形是直角三角形。
计算面积：
$面积 = \frac{1}{2} × 10 × 24 = 120 (cm^{2})$。
故答案为：$120 cm^{2}$。

8. 已知 $\triangle ABC$ 中,$AB = 25$,$AD$ 是 $BC$ 边上的中线,$BC$ 长为 $14$,$AD$ 长为 $24$.
(1)判断 $\triangle ABD$ 的形状,并说明理由.
(2)$\triangle ABD$ 与 $\triangle ACD$ 全等吗？为什么？
(3)求 $\triangle ABC$ 的面积.

答案：
(1) 在 $\triangle ABD$ 中：
$BD = \frac{1}{2}BC = 7$，
由题意，$AD = 24$，
计算：
$BD^2 + AD^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$，
同时：
$AB^2 = 25^2 = 625$，
因为 $BD^2 + AD^2 = AB^2$，
所以 $\triangle ABD$ 是直角三角形。
(2) 在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACD$ 中：
$AD = AD$（公共边），
$BD = CD$（中线定义），
$\angle ADB = \angle ADC = 90°$（由
(1) 得出），
因此，$\triangle ABD \cong \triangle ACD$（SAS）。
(3) $\triangle ABC$ 的面积：
$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ACD}$
$= \frac{1}{2} × BD × AD + \frac{1}{2} × CD × AD$
$= \frac{1}{2} × 7 × 24 + \frac{1}{2} × 7 × 24$
$= 168$
综上，$\triangle ABC$ 的面积为$168$。

9. 在正方形 $ABCD$ 中,$E$ 是 $AB$ 的中点,点 $F$ 在 $AD$ 上,且 $AF = \frac{1}{4}AD$,说明 $\triangle FEC$ 是直角三角形.

答案： 设正方形 $ABCD$ 的边长为 $4a$。
由于 $ABCD$ 是正方形，
所以$AB = BC = CD = DA = 4a$。
根据题目条件，$E$ 是 $AB$ 的中点，
所以$AE = BE = \frac{1}{2}AB = 2a$。
同样，$AF = \frac{1}{4}AD = a$，
$DF = 3a$。
利用勾股定理计算 $EF$，$EC$ 和 $FC$ 的长度。
$EF = \sqrt{AE^{2} + AF^{2}} = \sqrt{(2a)^{2} + a^{2}} = \sqrt{5}a$，
$EC = \sqrt{BE^{2} + BC^{2}} = \sqrt{(2a)^{2} + (4a)^{2}} = 2\sqrt{5}a$，
$FC = \sqrt{DF^{2} + CD^{2}} = \sqrt{(3a)^{2} + (4a)^{2}} = 5a$。
验证 $EF^{2} + EC^{2} = FC^{2}$。
$(\sqrt{5}a)^{2} + (2\sqrt{5}a)^{2} = 5a^{2} + 20a^{2} = 25a^{2} = (5a)^{2} = FC^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，
如果在三角形中，最长的边的平方等于其他两边的平方和，
则这个三角形是直角三角形。
由上面的计算可知，$\triangle FEC$ 满足这一条件，
所以 $\triangle FEC$ 是直角三角形。