《2025年学习之友八年级数学上册北师大版》

7. 先阅读下面的解题过程,然后再解题.
例：$9\sqrt{\dfrac{1}{27}}= \sqrt{\dfrac{9^{2}}{27}}= \sqrt{3}$,$4\sqrt{\dfrac{1}{8}}= \sqrt{\dfrac{4^{2}}{8}}= \sqrt{2}$.
化简下列各式：
(1)$2\sqrt{\dfrac{1}{2}}$；
(2)$11\sqrt{\dfrac{2}{11}}$；
(3)$6\sqrt{\dfrac{1}{12}}$.

答案：
(1)
$2\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{2^{2}}{2}} = \sqrt{2}$；
(2)
$11\sqrt{\dfrac{2}{11}}=\sqrt{\dfrac{11^{2}×2}{11}}=\sqrt{22}$；
(3)
$6\sqrt{\dfrac{1}{12}}=\sqrt{\dfrac{6^{2}}{12}}=\sqrt{3}$。

1. 填空：
$\sqrt{1-\dfrac{3}{4}}=$$\dfrac{1}{2}$；$\sqrt{1-\dfrac{5}{9}}=$$\dfrac{2}{3}$；
$\sqrt{1-\dfrac{7}{16}}=$$\dfrac{3}{4}$；$\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=$$\dfrac{4}{5}$；
……
观察上面的式子,请你将猜到的规律用含自然数$n(n＞0)$的式子表示出来.
$\sqrt{1-\dfrac{2n+1}{(n+1)^2}}=\dfrac{n}{n+1}$

答案： $\dfrac{1}{2}$；$\dfrac{2}{3}$；$\dfrac{3}{4}$；$\dfrac{4}{5}$；$\sqrt{1-\dfrac{2n+1}{(n+1)^2}}=\dfrac{n}{n+1}$

2. 已知$\sqrt{x}+\sqrt{y}= \sqrt{18}$,且$x$,$y$为正整数,试求$x + y$的值.

答案： √18=3√2，原方程化为√x+√y=3√2。
设√x=a√2，√y=b√2（a,b为正整数），则(a+b)√2=3√2，得a+b=3。
正整数解：
①a=1,b=2时，√x=√2，x=2；√y=2√2，y=8，x+y=2+8=10。
②a=2,b=1时，√x=2√2，x=8；√y=√2，y=2，x+y=8+2=10。
综上，x+y=10。