《2025年学习之友八年级数学上册北师大版》

6. 已知梯形的上底$a = \sqrt{5}$,下底$b = \sqrt{20}$,高$h = \sqrt{5}$,求面积$S$.

答案： 梯形面积公式：$S = \frac{(a + b)h}{2}$
$a = \sqrt{5}$，$b = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$，$h = \sqrt{5}$
$a + b = \sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$
$S = \frac{3\sqrt{5} × \sqrt{5}}{2} = \frac{3 × 5}{2} = \frac{15}{2}$
结论：$S = \frac{15}{2}$

7. 一个直角三角形的两条直角边长分别为$\sqrt{20}\ cm和\sqrt{45}\ cm$,求这个直角三角形的面积.

答案： 解：直角三角形面积公式为 $ S = \frac{1}{2}ab $（其中 $ a,b $ 为直角边长）。
$ a = \sqrt{20}\ cm $，$ b = \sqrt{45}\ cm $
$ S = \frac{1}{2} × \sqrt{20} × \sqrt{45} $
$ = \frac{1}{2} × \sqrt{20 × 45} $
$ = \frac{1}{2} × \sqrt{900} $
$ = \frac{1}{2} × 30 $
$ = 15\ cm^2 $
答：这个直角三角形的面积为 $ 15\ cm^2 $。

1. 已知$\dfrac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{3 - x}}= \sqrt{\dfrac{x - 2}{3 - x}}$成立.
(1)填空：$x$的取值范围是$2\leqslant x＜3$.
(2)化简：$\sqrt{\dfrac{x^{2} - 4x + 4}{x^{2} - 6x + 9}}$.$\dfrac{x - 2}{3 - x}$

答案：
(1)
因为二次根式被开数非负以及分式分母不为0，对于$\dfrac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{3 - x}}= \sqrt{\dfrac{x - 2}{3 - x}}$成立，则$\begin{cases}x - 2\geqslant0\\3 - x＞0\end{cases}$，
解$x - 2\geqslant0$得$x\geqslant2$，解$3 - x＞0$得$x＜3$，
所以$x$的取值范围是$2\leqslant x＜3$。
(2)
由
(1)知$2\leqslant x＜3$，则$x - 2\geqslant0$，$x - 3＜0$。
$\sqrt{\dfrac{x^{2} - 4x + 4}{x^{2} - 6x + 9}}=\sqrt{\dfrac{(x - 2)^{2}}{(x - 3)^{2}}}=\dfrac{\vert x - 2\vert}{\vert x - 3\vert}=\dfrac{x - 2}{3 - x}$。
综上，答案依次为：
(1)$2\leqslant x＜3$；
(2)$\dfrac{x - 2}{3 - x}$。

2. (1)探索：先观察下列各式的计算情况,再完成后面的问题.
$\sqrt{4}× \sqrt{16}= \sqrt{4× 16}$,
$\sqrt{49}× \sqrt{9}= \sqrt{49× 9}$,
$\sqrt{\dfrac{16}{9}}× \sqrt{\dfrac{4}{25}}= \sqrt{\dfrac{16}{9}× \dfrac{4}{25}}$,
$\sqrt{\dfrac{9}{25}}× \sqrt{25}= \sqrt{\dfrac{9}{25}× 25}$,
$\sqrt{36}× \sqrt{0}= \sqrt{36× 0}$.
(1)用$\sqrt{a}$,$\sqrt{b}$,$\sqrt{ab}$表示上述规律为：$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab} \quad (a \geq 0, b \geq 0)$.
(2)利用(1)中的结论,求$\sqrt{8}× \sqrt{\dfrac{1}{2}}$的值.
(3)设$x = \sqrt{3}$,$y = \sqrt{6}$,试用含$x$,$y的式子表示\sqrt{54}$.

答案：
(1)规律为：$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab} \quad (a \geq 0, b \geq 0)$。
(2)根据
(1)中的结论：
$\sqrt{8} × \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{8 × \frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$。
(3)已知$x = \sqrt{3}$，$y = \sqrt{6}$，则：
$\sqrt{54} = \sqrt{3 × 3 × 6} = \sqrt{3} × \sqrt{3 × 6} = \sqrt{3} × \sqrt{18} = \sqrt{3} × \sqrt{3} ×\sqrt{6} = x^{2}y$（或$\sqrt{54} = \sqrt{6 × 9} = \sqrt{6} × \sqrt{9} = 3\sqrt{6} = x^{2}y$，因为$x^2 = 3$，所以结果一样）。
所以$\sqrt{54} = x^{2}y$。