《2025年5年中考3年模拟七年级数学上册苏科版》

10.「2025江苏无锡天一实验学校月考,★☆」将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,AE,AF为折痕,点B,D折叠后的对应点分别为$B',D'$,若$∠B'AD'= 26^{\circ }$,则$∠EAF$的度数为 (D)



A.$51^{\circ }$
B.$45^{\circ }$
C.$40^{\circ }$
D.$32^{\circ }$

答案： D　因为四边形ABCD为正方形，所以∠DAB = 90°，由折叠的性质可得∠BAE = ∠B'AE，∠DAF = ∠D'AF，所以2∠DAF + 2∠BAE = ∠DAB + ∠B'AD'，因为∠B'AD' = 26°，所以2(∠DAF + ∠BAE) = 90° + 26° = 116°，所以∠DAF + ∠BAE = 58°，所以∠EAF = 90° - (∠DAF + ∠BAE) = 90° - 58° = 32°.故选D.

11.「2024江苏常州金坛期末,★☆」已知$∠AOB= 20^{\circ },∠AOC= 4∠AOB$,OD平分$∠AOB$,OM平分$∠AOC$,则$∠DOM$的度数是 ( )

A.$20^{\circ }或50^{\circ }$
B.$20^{\circ }或60^{\circ }$
C.$30^{\circ }或50^{\circ }$
D.$30^{\circ }或60^{\circ }$

答案：
C　分两种情况：
①如图1，当∠AOB的边OB在∠AOC内部时，因为∠AOB = 20°，∠AOC = 4∠AOB，所以∠AOC = 80°，因为OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，所以∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOB = 10°，∠AOM = $\frac{1}{2}$∠AOC = 40°，所以∠DOM = ∠AOM - ∠AOD = 40° - 10° = 30°；

②如图2，当∠AOB的边OB在∠AOC外部时，易知∠DOM = ∠AOM + ∠AOD = 40° + 10° = 50°.

故选C.

12.「2024北京海淀首师大附中开学测试,★☆」如图,$∠AOB= α(0^{\circ }＜α＜60^{\circ }),∠COD= 2α$,OE为$∠AOC$的平分线,点B与点E在直线AO的两侧.
(1)当点A,O,C在一条直线上时,求$∠AOD和∠BOE$的大小(用含α的式子表示).
(2)在(1)的条件下,将$∠COD$绕点O顺时针旋转$180^{\circ }$,用等式表示旋转过程中$∠AOD与∠BOE$的数量关系.

答案：
解析　
(1)∠AOD = 180° - ∠COD = 180° - 2α.因为OE为∠AOC的平分线，所以∠AOE = 90°，所以∠BOE = ∠AOB + ∠AOE = 90° + α.
(2)设旋转角为β，∠DOC旋转至∠D'OC'.当0°＜β＜60°时，∠DOD' = ∠COC' = β，如图1所示，所以∠COD' = ∠DOC - ∠DOD' = 2α - β，∠AOC' = 180° - ∠COC' = 180° - β，所以∠AOD' = 180° - ∠COD' = 180° - (2α - β)，即2α - β = 180° - ∠AOD'.因为OE为∠AOC'的平分线，所以∠AOE = $\frac{180° - β}{2}$，所以∠BOE = ∠AOB + ∠AOE = α + $\frac{180° - β}{2}$，所以2∠BOE = 2α + 180° - β = 2α - β + 180°，所以2∠BOE = 180° - ∠AOD' + 180°，所以2∠BOE + ∠AOD' = 360°.

当60°＜β＜180°时，∠DOD' = ∠COC' = β，如图2所示，所以∠COD' = ∠DOD' - ∠COD = β - 2α，所以∠AOD' = 180° - ∠COD' = 180° - (β - 2α)，即2α - β = ∠AOD' - 180°，所以∠AOC' = ∠AOD' - ∠C'OD' = 180° - (β - 2α) - 2α = 180° - β，因为OE为∠AOC'的平分线，所以∠AOE = $\frac{180° - β}{2}$，所以∠BOE = ∠AOB + ∠AOE = α + $\frac{180° - β}{2}$，所以2∠BOE = 2α + 180° - β = 2α - β + 180°，所以2∠BOE = ∠AOD' - 180° + 180°，所以2∠BOE = ∠AOD'.
综上所述，∠AOD与∠BOE的数量关系是2∠BOE + ∠AOD = 360°或2∠BOE = ∠AOD.

13.我们可以把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”.
(1)请写出图中的一组“共边角”.
(2)$∠AOB与∠BOC$是一组“共边角”,其中$∠AOB= 90^{\circ },∠BOC= 30^{\circ }$,请画出图形,并计算非公共边的两边所夹的角的度数.
(3)若一组“共边角”$∠AOB与∠BOC$非公共边的两边所夹的角是直角,请画出图形,这一组“共边角”的平分线所夹的角的度数确定吗？如果确定,请求出它的度数;如果不确定,请说明理由.

答案：
解析　
(1)题图中的“共边角”为∠DOE与∠DOF或∠DOE与∠EOF或∠DOF与∠EOF(写出一组即可).
(2)当OC在∠AOB内部时，如图1所示，∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 90° - 30° = 60°；

当OC在∠AOB外部时，如图2所示，∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 90° + 30° = 120°.
综上，非公共边的两边所夹的角的度数为60°或120°.
(3)这一组“共边角”的平分线所夹的角的度数确定，其度数为45°或135°.
如图1，当OB在∠AOC内部时，∠AOC = 90°，设OM，ON分别是∠AOB，∠BOC的平分线，所以∠BOM = $\frac{1}{2}$∠AOB，∠BON = $\frac{1}{2}$∠BOC，所以∠MON = ∠BOM + ∠BON = $\frac{1}{2}$(∠AOB + ∠BOC) = $\frac{1}{2}$∠AOC.因为∠AOC = 90°，所以∠MON = 45°.

如图2，当OB在∠AOC的外部时，∠AOC = 90°.设OM，ON分别是∠AOB，∠BOC的平分线，所以∠BOM = $\frac{1}{2}$∠AOB，∠BON = $\frac{1}{2}$∠BOC，所以∠MON = ∠BOM + ∠BON = $\frac{1}{2}$(∠AOB + ∠BOC).因为∠AOB + ∠BOC = 360° - ∠AOC = 270°，所以∠MON = $\frac{1}{2}$×270° = 135°.

综上，这一组“共边角”的平分线所夹的角的度数为45°或135°.