《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

1. (2024·云南)在△ABC中,若∠B= 90°,AB= 3,BC= 4,则tanA的值为 (C)
A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{4}$

答案： C 解析:在△ABC中,
∵∠B=90°,AB=3,BC=4,
∴tanA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{4}{3}$。

2. (2024·靖江段考)在Rt△ABC中,∠C= 90°,斜边为c,∠A、∠B所对的直角边分别为a、b(a≠b),斜边上的高CD= h.下列结论错误的是 ( )

A.$a\sin A + b\sin B = c$
B.$a\cos A + b\cos B = c$
C.$h\tan A + h\tan B = c$
D.$a\cos B + b\cos A = c$

答案：
B 解析:如图.
∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠A+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°.
∴∠A=∠BCD.同理∠B=∠ACD.
∴asinA+bsinB=asin∠BCD+bsin∠ACD=a×$\frac{BD}{a}$+b×$\frac{AD}{b}$=AD+BD=AB=c.
∴A不符合题意;
∵cosA=cos∠BCD=$\frac{CD}{a}$,cosB=cos∠ACD=$\frac{CD}{b}$,
∴acosA+bcosB=a×$\frac{CD}{a}$+b×$\frac{CD}{b}$=2CD=2h.
∴B符合题意;
∵tanA=tan∠BCD=$\frac{BD}{h}$,tanB=tan∠ACD=$\frac{AD}{h}$,
∴htanA+htanB=h×$\frac{BD}{h}$+h×$\frac{AD}{h}$=BD+AD=AB=c.
∴C不符合题意;
∵cosA=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{b}{c}$,cosB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{a}{c}$,
∴acosB+bcosA=a×$\frac{a}{c}$+b×$\frac{b}{c}$=$\frac{a²+b²}{c}$.
∵a²+b²=c²,
∴$\frac{a²+b²}{c}$=$\frac{c²}{c}$=c.
∴D不符合题意。
　　　　　　　

3. 新情境 新科技(2024·长春)2024年5月29日16时12分,"长春净月一号"卫星搭乘谷神星一号海射型遥二运载火箭在黄海海域成功发射.如图,当火箭上升到点A时,位于海平面点R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米,仰角为θ,则此时火箭距海平面的高度AL为 (A)

A.$a\sin\theta$千米
B.$\frac{a}{\sin\theta}$千米
C.$a\cos\theta$千米
D.$\frac{a}{\cos\theta}$千米

答案： A 解析:在Rt△ALR中,AR=a千米,∠ARL = θ,
∴sinθ = $\frac{AL}{AR}$.
∴AL = AR·sinθ = asinθ(千米).
∴火箭距海平面的高度AL为asinθ千米。

4. (2024·南京建邺模拟)如图,在8×5的网格中,每个小正方形的边长均为1.若点A、B、C都在格点上,则$\sin B$的值为 ( )


A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{\sqrt{10}}{5}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{2}$

答案：
A 解析:如图,过点A作BC的垂线,垂足为M.
∵每个小正方形边长均为1,由勾股定理得AM=$\sqrt{2² + 2²}$=2$\sqrt{2}$,AB=$\sqrt{2² + 6²}$=2$\sqrt{10}$.在Rt△ABM中,sinB=$\frac{AM}{AB}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$。
　　　　　　　

5. (2024·深圳)如图,为了测量某电子厂的高度,小明用高1.8m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°,小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°,则电子厂的高度AB约为(参考数据:$\sin 53°≈\frac{4}{5}$,$\cos 53°≈\frac{3}{5}$,$\tan 53°≈\frac{4}{3}$) (A)

[答案]：A
∵EF=BM=1.8mCD=BN=1.5mDF=5mEM=BFBD=CNEM⊥ABCN⊥AB设BD=CN=x mEM=BF=DF+BD=(x+5)m在Rt△AEM中∠AEM=45°AM=EM·tan45°=(x+5)m在Rt△ACN中∠ACN=53°AN=CN·tan53°≈x·$\frac{4}{3}$=$\frac{4}{3}$x m
∵AM+BM=AN+BN=ABx+5+1.8=$\frac{4}{3}$x+1.5解得x=27.9mAN=37.2mAB=AN+BN=37.2+1.5=38.7m电子厂高度AB约为38.7m
A.22.7m
B.22.4m
C.21.2m
D.23.0m

答案： A
∵EF=BM= mCD=BN= mDF= mEM=BFBD=CNEM⊥ABCN⊥AB设BD=CN=x mEM=BF=DF+BD=(x+5)m在Rt△AEM中∠AEM=45°AM=EM·tan45°=(x+5)m在Rt△ACN中∠ACN=53°AN=CN·tan53°≈x· = x m
∵AM+BM=AN+BN=ABx+5+1.8= x+1.5解得x= mAN= mAB=AN+BN= + = m电子厂高度AB约为 m

6. (2024·潍坊期中)如图,当太阳光线与地面成60°的角时,测得空中热气球在地面上的影长是10m,则热气球的直径是 ( )

A.20m
B.$10\sqrt{3}$m
C.$5\sqrt{3}$m
D.10m

答案：
D 解析:如图,连接DO并延长交⊙O于点F,连接EF.
∵DF是直径,
∴∠DEF=90°.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=9,AC=12,
∴AB=$\sqrt{AC² + BC²}$=15.
∴sin∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$.
∵四边形BDFE是⊙O的内接四边形,
∴∠F+∠DBE=180°.又
∵∠ABC+∠DBE=180°,
∴∠ABC=∠F.
∴sin∠ABC=sinF.在Rt△DEF中,sinF=$\frac{DE}{DF}$=$\frac{4}{5}$,
∴DE=$\frac{4}{5}$DF=$\frac{4}{5}$×10=8。