《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

1. (2024·盐城大丰期末)已知$\frac{a}{3}= \frac{b}{2}$,则下列变形正确的是 (C)
A.$\frac{a}{b}= \frac{2}{3}$
B.$3a= 2b$
C.$\frac{b}{a}= \frac{2}{3}$
D.$ab= 6$

答案： C 解析:根据题意，可知$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}$，$\therefore 2a=3b$，$\frac{a}{b}=\frac{3}{2}$，$\frac{b}{a}=\frac{2}{3}$。选项C符合题意。

2. (2024·盐城阜宁期中)下列各组长度的线段中,是成比例线段的为 (C)
A.1、2、3、4
B.1、2、3、5
C.1、2、3、6
D.1、2、3、7

答案： C 解析:$\frac{1}{2}\neq\frac{3}{4}$，选项A错误，不符合题意；$\frac{1}{2}\neq\frac{3}{5}$，选项B错误，不符合题意；$\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$，选项C正确，符合题意；$\frac{1}{2}\neq\frac{3}{7}$，选项D错误，不符合题意。

3. (2025·保定开学)如图,小方格的边长均为1,$\triangle ABC$的顶点均在小方格的格点上,下列涂色部分的三角形与$\triangle ABC$相似的是 (A)

答案： A 解析:在$\triangle ABC$中，$AB=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，$BC=1$，$AC=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$。选项A：三边分别为$\sqrt{2}$、2、$\sqrt{10}$，则$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$，故与$\triangle ABC$相似，符合题意；选项B：三边分别为$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$、3，则$\frac{1}{\sqrt{2}}\neq\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\neq\frac{\sqrt{5}}{3}$，故与$\triangle ABC$不相似，不符合题意；选项C：三边分别为2、$\sqrt{5}$、$\sqrt{17}$，则$\frac{1}{2}\neq\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\neq\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{17}}$，故与$\triangle ABC$不相似，不符合题意；选项D：三边分别为$\sqrt{5}$、$\sqrt{5}$、4，则$\frac{1}{\sqrt{5}}\neq\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\neq\frac{\sqrt{5}}{4}$，故与$\triangle ABC$不相似，不符合题意。

4. 下列各组中的两个图形,一定相似的是 (A)
A.有一个角对应相等的两个菱形
B.对应边成比例的两个多边形
C.两条对角线对应成比例的两个平行四边形
D.任意两个矩形

答案： A 解析:两个菱形中有一个角对应相等，其他三个角一定对应相等，对应边成比例，$\therefore$这两个菱形一定相似。选项A正确；对应边成比例的两个多边形对应角不一定相等，选项B错误；两条对角线对应成比例的两个平行四边形，对应边不一定成比例，对应角不一定相等，选项C错误；任意两个矩形，对应角一定相等，但对应边不一定成比例，选项D错误。

5. 如图,$\angle E= \angle C$,下列不能使$\triangle ABC\backsim \triangle ADE$的是 (C)
A.$\angle B= \angle ADE$
B.$\angle BAD= \angle CAE$
C.$\frac{AB}{AD}= \frac{AC}{AE}$
D.$\frac{BC}{ED}= \frac{AC}{AE}$

答案： C 解析:$\because \angle C=\angle E$，$\angle B=\angle ADE$，$\therefore \triangle ABC\backsim\triangle ADE$。选项A不符合题意；$\because \angle BAD=\angle CAE$，$\therefore \angle BAD+\angle DAC=\angle CAE+\angle DAC$，即$\angle BAC=\angle DAE$。又$\because \angle C=\angle E$，$\therefore \triangle ABC\backsim\triangle ADE$。选项B不符合题意；$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，非夹角$\angle E=\angle C$，不能使$\triangle ABC\backsim\triangle ADE$。选项C符合题意；$\because \frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AE}$，$\angle C=\angle E$，$\therefore \triangle ABC\backsim\triangle ADE$。选项D不符合题意。

6. 如图,点A、B均在方格纸的格点上,在方格纸内另取格点C、D,连接CD,交线段AB于点P.若要使点P把线段AB分成1:2的两条线段,则 (C)
A.只有方法1对
B.只有方法2对
C.方法1、2都对
D.方法1、2都错

答案： C 解析:方法1:连接AC、BD。$\because AC// BD$，$BD=2AC$，$\therefore \frac{AP}{BP}=\frac{AC}{BD}=\frac{1}{2}$。$\therefore$点P把线段AB分成$1:2$的两条线段；方法2:如图，连接BC、AD。$\because BC// AD$，$AD=2BC$，$\therefore \frac{BP}{AP}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}$。$\therefore$点P把线段AB分成$1:2$的两条线段。$\therefore$方法1、2都对。

7. (2024·德州)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC= 90^{\circ}$,$BD\perp AC$,垂足为D,AE平分$\angle BAC$,分别交BD、BC于点F、E.若$AB:BC= 3:4$,则$BF:FD$为 (A)
A.$5:3$
B.$5:4$
C.$4:3$
D.$2:1$

答案： A 解析:$\because AB:BC=3:4$，$\therefore$设$AB=3x$，$BC=4x$。$\because \angle ABC=90^{\circ}$，$\therefore AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=5x$。$\because BD\perp AC$，$\therefore \angle ADB=\angle ABC=90^{\circ}$。$\because \angle BAD=\angle CAB$，$\therefore \triangle ABD\backsim\triangle ACB$。$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}$。$\therefore \frac{3x}{5x}=\frac{AD}{3x}$。$\therefore AD=\frac{9}{5}x$。$\because AE$平分$\angle BAC$，$\therefore \angle BAF=\angle DAF$。$\therefore$易得$\angle AEB=\angle AFD$。$\because \angle AFD=\angle BFE$，$\therefore \angle BEF=\angle BFE$。$\therefore BE=BF$。$\because \angle ABE=\angle ADF=90^{\circ}$，$\angle BAE=\angle DAF$，$\therefore \triangle ABE\backsim\triangle ADF$。$\therefore \frac{BE}{DF}=\frac{AB}{AD}$。$\therefore \frac{BF}{DF}=\frac{AB}{AD}=\frac{3x}{\frac{9}{5}x}=\frac{5}{3}$，即$BF:FD=5:3$。

8. 新考法 探究题(2024·南通)在$\triangle ABC$中,$\angle B= \angle C= \alpha (0^{\circ}＜\alpha ＜45^{\circ})$,$AH\perp BC$,垂足为H,D是线段HC上的动点(不与点H、C重合),将线段DH绕点D顺时针旋转2$\alpha$得到线段DE.两名同学经过深入研究,小明发现:当点E落在边AC上时,D为HC的中点;小丽发现:连接AE,当AE的长最小时,$AH^{2}= AB\cdot AE$.关于两名同学的发现,下列正确的是 (C)
A.小明正确,小丽错误
B.小明错误,小丽正确
C.小明、小丽都正确
D.小明、小丽都错误

答案： C 解析:$\because$将线段DH绕点D顺时针旋转$2\alpha$得到线段DE，$\therefore DH=DE$，$\angle HDE=2\alpha$。当点E落在边AC上时，如图①所示，$\because \angle HDE=\angle C+\angle CED$，$\angle C=\alpha$，$\therefore \angle CED=\alpha=\angle C$。$\therefore DE=CD$。$\therefore DH=CD$。$\therefore$D为CH的中点。故小明的发现是正确的。如图②，连接HE并延长，$\because DH=DE$，$\angle HDE=2\alpha$，$\therefore \angle DHE=\angle DEH=\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\alpha)=90^{\circ}-\alpha$。$\because AH\perp BC$，$\therefore \angle AHB=\angle AHD=90^{\circ}$。$\therefore \angle AHE=\angle AHD-\angle DHE=\alpha$。$\therefore$点E在射线HE上运动。$\therefore$当$AE\perp HE$时，AE的长最小。$\therefore$当AE的长最小时，$\angle AEH=\angle AHB=90^{\circ}$。又$\because \angle B=\angle C=\alpha=\angle AHE$，$\therefore \triangle AEH\backsim\triangle AHB$。$\therefore \frac{AE}{AH}=\frac{AH}{AB}$。$\therefore AH^{2}=AB\cdot AE$。故小丽的发现正确。