《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

17. (8分)已知常数$a$满足下面两个条件:
① 二次函数$y_{1} = -\frac{1}{3}(x + 4)(x - 5a - 7)的图像与x$轴的两个交点在坐标原点的两侧;
② 一次函数$y_{2} = ax + 2$的图像经过第一、二、四象限.
(1) 求整数$a$的值;
(2) 在(1)的条件下,在如图所示的平面直角坐标系中分别画出$y_{1}$、$y_{2}$的图像,并求当$y_{1}\lt y_{2}$时,自变量$x$的取值范围.

答案：

(1)二次函数y₁=-1/3(x+4)(x-5a-7)的图像与x轴的两个交点的坐标为(-4,0)、(5a+7,0).根据题意,得5a+7＞0,解得a＞-7/5.又
∵一次函数y₂=ax+2的图像经过第一、二、四象限,
∴a＜0.
∴a的取值范围是-7/5＜a＜0.
∴整数a为-1
(2)抛物线对应的函数表达式为y₁=-1/3(x+4)(x-2)=-1/3(x+1)²+3,顶点坐标为(-1,3),直线对应的函数表达式为y₂=-x+2.y₁、y₂的图像如图所示.当x＜-1或x＞2时,y₁＜y₂

18. (8分)(2024·福建)如图,二次函数$y = x^{2}+bx + c的图像与x轴交于A$、$B$两点,与$y轴交于点C$,其中$A(-2,0)$、$C(0,-2)$.
(1) 求二次函数的表达式;
(2) 若$P$是二次函数图像上的一点,且点$P$在第二象限,线段$PC交x轴于点D$,$\triangle PDB的面积是\triangle CDB的面积的2$倍,求点$P$的坐标.

答案：
(1)由题意,将A(-2,0)、C(0,-2)代入y=x²+bx+c,得{4-2b+c=0,c=-2,
∴{b=1,c=-2.
∴二次函数的表达式为y=x²+x-2
(2)由题意,设P(m,n)(m＜0,n＞0).
∵△PDB的面积是△CDB의面积的2倍,
∴S△PDB/S△CDB=2,即(1/2BD·n)/(1/2BD·CO)=2.
∴n/CO=2
∵CO=2,
∴n=2CO=4
∵n=m²+m-2.
∴m²+m-2=4.
∴m₁=-3,m₂=2(舍去).
∴点P的坐标为(-3,4)