《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

1. 如图,抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)的对称轴为直线x = - 2$,下列结论正确的是 (C)

A.$a\lt0$
B.$c\lt0$
C.当$x\lt - 2$时,$y随x$的增大而减小
D.$b^{2}-4ac\lt0$

答案： C 解析:
∵图像开口向上,
∴a＞0.故A不正确,不符合题意;
∵图像与y轴交于正半轴,
∴c＞0.故B不正确,不符合题意;
∵抛物线开口向上,对称轴为直线x=-2,
∴当x＜-2时,y随x的增大而减小,当x＞-2时,y随x的增大而增大.故C正确,符合题意;
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b²-4ac＞0.故D不正确,不符合题意.

2. 在同一平面直角坐标系中,一次函数$y = - ax + b与二次函数y = ax^{2}-b(a\neq0)$的图像可能是 (D)

答案： D 解析:选项A:根据一次函数图像分布,得a＞0,b＜0;根据二次函数图像分布,得a＞0,b＞0,不一致,不符合题意.选项B:根据一次函数图像分布,得a＜0,b＞0;根据二次函数图像分布,得a＞0,b＞0,不一致,不符合题意.选项C:根据一次函数图像分布,得a＞0,b＜0;根据二次函数图像分布,得a＜0,b＜0,不一致,不符合题意.选项D:根据一次函数图像分布,得a＞0,b＞0;根据二次函数图像分布,得a＞0,b＞0,一致,符合题意.

3. 已知二次函数$y = x^{2}-2x + a$,则下列说法中正确的是 (C)
A.当$x\gt1$时,$y随x$的增大而减小
B.当$a\gt1$时,该函数图像与$x$轴有两个交点
C.当$x = 1$时,二次函数$y = x^{2}-2x + a的最小值是a - 1$
D.先将图像向上平移1个单位长度,再向右平移2个单位长度后过点$(1,2)$,则$a = 2$

答案： C 解析:选项A:
∵y=x²-2x+a=(x-1)²+a-1,
∴当x＞1时,y随x的增大而增大.故本选项错误;选项B:b²-4ac=(-2)²-4a=4-4a,当a＞1时,b²-4ac＜0,该函数图像与x轴没有交点,故本选项错误;选项C:当x=1时,二次函数y=x²-2x+a的最小值是a-1,故本选项正确;选项D:平移后图像对应的函数表达式为y=(x-2-1)²+a-1+1=(x-3)²+a.
∵平移后的图像经过点(1,2),
∴(1-3)²+a=2,解得a=-2.故本选项错误.

4. (2024·天津)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度$h$(单位:$m$)与小球的运动时间$t$(单位:$s$)之间的关系式是$h = 30t - 5t^{2}(0\leqslant t\leqslant6)$.有下列结论:① 小球从抛出到落地需要$6s$;② 小球运动中的高度可以是$30m$;③ 小球运动$2s时的高度小于运动5s$时的高度.其中,正确结论的个数是 (C)
A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

答案： C 解析:①令h=0,则30t-5t²=0,解得t₁=0,t₂=6.
∴小球从抛出到落地需要6 s.故①正确;②h=30t-5t²=-5(t²-6t)=-5(t-3)²+45.
∵-5＜0,
∴当t=3时,h有最大值,最大值为45.
∴小球运动中的高度可以是30 m.故②正确;③当t=2时,h=30×2-5×4=40,当t=5时,h=30×5-5×25=25.
∴小球运动2 s时的高度大于运动5 s时的高度.故③错误.

5. (2024·陕西)已知一个二次函数$y = ax^{2}+bx + c的自变量x与函数y$的几组对应值如下表:
| $x$ | … | $-4$ | $-2$ | $0$ | $3$ | $5$ | … |
| $y$ | … | $-24$ | $-8$ | $0$ | $-3$ | $-15$ | … |
下列关于这个二次函数的结论,正确的是 (D)
A.图像的开口向上
B.当$x\gt0$时,$y的值随x$值的增大而增大
C.图像经过第二、三、四象限
D.图像的对称轴是直线$x = 1$

答案： D 解析:由题,知{4a-2b+c=-8,c=0,9a+3b+c=-3,解得{a=-1,b=2,c=0.
∴二次函数的表达式为y=-x²+2x.
∵-1＜0,
∴抛物线开口向下.故A选项不符合题意.
∵y=-x²+2x=-(x-1)²+1,
∴当x＞1时,y随x的增大而减小.故B选项不符合题意.令y=0,得-x²+2x=0,解得x₁=0,x₂=2.
∴抛物线与x轴的交点坐标为(0,0)和(2,0).又
∵抛物线的顶点坐标为(1,1),
∴抛物线经过第一、三、四象限.故C选项不符合题意.
∵二次函数的表达式为y=-(x-1)²+1,
∴抛物线的对称轴为直线x=1.故D选项符合题意.