《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

20. (8分)(2024·宿迁沭阳段考)如图,在$\triangle ABC$中,$BC= AC= 6$,以BC为直径的$\odot O$与边AB相交于点D,$DE\perp AC$,垂足为E.
(1) 求证:D是AB的中点;
(2) 若$AB= 4$,求DE的长.

答案： （1）如图,连接CD.
∵BC为直径,
∴∠BDC=90°.
∴CD⊥AB.
∵AC=BC,
∴AD=BD,即D是AB的中点（2）
∵AB=4,D为AB的中点,
∴AD=2.
∵CD⊥AB,AC=6,
∴由勾股定理得,CD=$\sqrt{AC^2 - AD^2}=4\sqrt{2}$.
∵DE⊥AC,
∴$\frac{1}{2}DE× AC=\frac{1}{2}AD× CD$.
∴$3DE = 2\sqrt{2}$，
∴$DE=\frac{4\sqrt{2}}{3}$

21. (8分)如图,C是半圆O上一点,过点C的半圆O的切线交AB的延长线于点P,连接CA、CO、CB.
(1) 求证:$\angle ACO= \angle BCP$;
(2) 若$\angle ABC= 2\angle BCP$,求$\angle P$的度数;
(3) 在(2)的条件下,若$AB= 4$,求图中涂色部分的面积(结果保留$\pi$).

答案： （1）
∵AB是半圆O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵CP是半圆O的切线,
∴∠OCP=∠ACB=90°.
∴∠ACB - ∠OCB=∠OCP - ∠OCB.
∴∠ACO=∠BCP （2）由（1）,知∠ACO=∠BCP.又
∵∠ABC=2∠BCP,
∴∠ABC=2∠ACO.
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠OAC.
∴∠ABC=2∠OAC.
∵∠ABC+∠OAC=90°,
∴∠OAC=30°,∠ABC=60°.
∴∠ACO=∠BCP=30°.
∴∠P=∠ABC - ∠BCP=60° - 30°=30° （3）由（2）,知∠OAC=30°.又
∵∠ACB=90°,
∴易得BC=$\frac{1}{2}AB=2$,AC=$\sqrt{3}BC=2\sqrt{3}$.
∴S△ABC=$\frac{1}{2}BC·AC=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$.
∴涂色部分的面积为$\frac{1}{2}\pi×(\frac{4}{2})^2 - 2\sqrt{3}=2\pi - 2\sqrt{3}$