《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

23. (10分) 新趋势 跨学科【学科融合】如图①,在反射现象中,反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内;反射光线和入射光线分别位于法线两侧;反射角$\gamma$等于入射角i.这就是光的反射定律.
【问题解决】如图②,小亮在点P处放置一平面镜(平面镜的大小忽略不计),他站在点C处通过平面镜恰好能看到塔的顶端A,此时测得小亮到平面镜的距离CP为4米.若平面镜到塔底部中心的距离PB为247.5米,小亮眼睛到地面的距离DC为1.6米,C、P、B三点在同一水平线上,且DC、AB均垂直于CB.请你帮小亮计算出塔的高度AB.

答案： 由光的反射定律易得，$\angle CPD=\angle BPA$。$\because DC$、$AB$均垂直于$CB$，$\therefore \angle DCP=\angle ABP=90^{\circ}$。$\therefore \triangle DCP\backsim\triangle ABP$。$\therefore DC:AB=PC:PB$。$\therefore AB=247.5×1.6÷4=99$（米）。$\therefore$塔的高度$AB$是99米。

24. (10分)(2024·长春期中)模型思想是一种数学的思考方法,运用数学的语言和方法,通过抽象、简化建立模型,能近似刻画并解决实际问题,以下是某数学小组运用模型思想解决数学问题的过程.
【模型探究】探究1.如图①,D是$\triangle ABC$中BC上的一点,且$BD= \frac{1}{2}DC$,过点B作$BF// AC$交AD的延长线于点F,则$\frac{BF}{AC}=$$\frac{1}{2}$.
探究2.如图②,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC= 90^{\circ}$,$AB= AC$,$\angle DAE= 45^{\circ}$.求证:$AE^{2}= DE\cdot BE$.
【模型应用】如图③,E为正方形ABCD中边AD的中点,连接BE,作$\angle EBF= 45^{\circ}$,交CD于点F,连接AC,分别交BE、BF于点M、N,若$AB= 2$,则$MN=$$\frac{5\sqrt{2}}{6}$.

答案： [模型探究]探究1.$\frac{1}{2}$ 解析:$\because BF// AC$，$\therefore \triangle BDF\backsim\triangle CDA$。$\therefore \frac{BF}{AC}=\frac{BD}{CD}$。$\because BD=\frac{1}{2}DC$，$\therefore \frac{BF}{AC}=\frac{1}{2}$。
探究2.在$\triangle ABC$中，$\because \angle BAC=90^{\circ}$，$AB=AC$，$\therefore \angle B=\angle DAE=45^{\circ}$。又$\because \angle AEB=\angle BEA$，$\therefore \triangle ADE\backsim\triangle BAE$。$\therefore \frac{AE}{BE}=\frac{DE}{AE}$，$\therefore AE^{2}=DE\cdot BE$
[模型应用]$\frac{5\sqrt{2}}{6}$ 解析:$\because$四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AD// BC$，$AD=AB=BC=2$，$\angle BAC=\angle ACB=45^{\circ}$，$\angle ABC=90^{\circ}$。$\therefore AC=\sqrt{2}AB=2\sqrt{2}$。$\because E$为正方形$ABCD$中边$AD$的中点，$\therefore AE=\frac{1}{2}AD=1$。$\therefore BE=\sqrt{AB^{2}+AE^{2}}=\sqrt{5}$。$\because AD// BC$，$\therefore \triangle AME\backsim\triangle CMB$。$\therefore \frac{EM}{BM}=\frac{AE}{BC}=\frac{AM}{CM}$。$\because E$为$AD$的中点，$AD=BC$，$\therefore \frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$。$\therefore \frac{EM}{BM}=\frac{AM}{CM}=\frac{1}{2}$。$\therefore BM=\frac{2\sqrt{5}}{3}$，$CM=\frac{4\sqrt{2}}{3}$。$\because \angle MBN=\angle BCM=45^{\circ}$，$\angle BMN=\angle CMB$，$\therefore \triangle BMN\backsim\triangle CMB$。$\therefore \frac{BM}{MN}=\frac{CM}{BM}$，即$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{3}}{MN}=\frac{\frac{4\sqrt{2}}{3}}{\frac{2\sqrt{5}}{3}}$。$\therefore MN=\frac{5\sqrt{2}}{6}$。