《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

17. (8分)如图,用纸片折出黄金分割点:裁一张正方形纸片ABCD,先折出BC的中点E,再折出线段AE,然后通过折叠使EB落到线段EA上,折出点B的新位置点$B'$,因而$EB'= EB$.类似地,在AB上折出点$B''使AB''= AB'$.这时$B''$就是线段AB的黄金分割点.请你证明这个结论.

答案： 设正方形纸片ABCD的边长为2.
∵E为BC的中点,
∴BE = 1.
∴$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{5}$.又
∵B'E = BE = 1,
∴$AB' = AE - B'E=\sqrt{5}-1$.
∴AB':AB = ($\sqrt{5}-1$):2.
∴B'是线段AB的黄金分割点.

18. (8分)如图,$\triangle ABC内接于\odot O,\angle ABC＞90^{\circ},\triangle ABC的外角\angle EAC的平分线交\odot O$于点D,连接DB、DC,DB交AC于点F.
(1) 求证:$\triangle DBC$是等腰三角形;
(2) 若$DA= DF$,求证:$BC^{2}= DC \cdot BF$.

答案：
(1)
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠BCD + ∠BAD = ∠DAB + ∠EAD = 180°.
∴∠BCD = ∠EAD.
∵AD平分∠EAC,
∴∠EAD = ∠CAD.
∵∠CAD = ∠CBD,
∴∠BCD = ∠CBD.
∴DB = DC.
∴△DBC是等腰三角形.
(2)
∵DA = DF,
∴∠DAF = ∠DFA.
∴∠DAF = ∠DFA = ∠CBD = ∠BCD.
∴∠BCD = ∠BFC.
∵∠DBC = ∠FBC,
∴△FBC∽△CBD.
∴$\frac{FB}{BC}=\frac{BC}{BD}$.
∴$BC^2 = BD\cdot BF$.又
∵DB = DC,
∴$BC^2 = DC\cdot BF$.

19. (8分)新考法 操作实践题 在$5 × 5$的方格纸中,请按下面的要求画出格点三角形(顶点均在格点上的三角形).
(1) 将图①中的格点三角形ABC绕点C按顺时针方向旋转$90^{\circ}$,画出旋转后的$\triangle A'B'C$;
(2) 在图②中画出与$\triangle ABC$相似但相似比不为1的格点三角形PDE.

答案：

(1)如图①,△A'B'C即为所求.
(2)如图②,分别取格点D、E,使$PD=\sqrt{26}$,$DE = 2\sqrt{2}$,$PE=\sqrt{10}$,此时△DPE∽△ABC,相似比为$\sqrt{2}$,则△PDE即为所求(△PDE的位置不唯一).