《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

16. 在Rt△ABC中,若2AB= AC,则$\cos C$的值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

答案： $\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ 解析:若∠B=90°,设AB=x,则AC=2x.
∴BC=$\sqrt{(2x)² - x²}$=$\sqrt{3}$x.
∴cosC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}x}{2x}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.若∠A=90°,设AB=x,则AC=2x.
∴BC=$\sqrt{(2x)² + x²}$=$\sqrt{5}$x.
∴cosC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{2x}{\sqrt{5}x}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.若∠C=90°,则AB为斜边,不符合题意.综上所述,cosC的值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

17. (8分)如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AC= 4,BC= 2,求$\sin A$、$\cos A$、$\tan A$的值.

答案：
∵∠C=90°,AC=4,BC=2.
∴AB=$\sqrt{BC² + AC²}$=$\sqrt{2² + 4²}$=2$\sqrt{5}$.
∴sinA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,cosA=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$。

18. (8分)(2024·浙江)如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE是BC边上的中线,AB= 10,AD= 6,$\tan∠ACB = 1$.求:
(1) BC的长;
(2) $\sin∠DAE$的值.

答案：
(1)
∵AD⊥BC,AB=10,AD=6,
∴BD=$\sqrt{AB² - AD²}$=$\sqrt{10² - 6²}$=8.
∵tan∠ACB=1,
∴CD=$\frac{AD}{tan∠ACB}$=6.
∴BC=BD+CD=8+6=14。
(2)
∵AE是BC边上的中线,
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=7.
∴DE=CE-CD=7-6=1.
∵AD⊥BC,
∴AE=$\sqrt{AD² + DE²}$=$\sqrt{6² + 1²}$=$\sqrt{37}$.
∴sin∠DAE=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{1}{\sqrt{37}}$=$\frac{\sqrt{37}}{37}$。