《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

5. (2023·南京)如图,在菱形纸片ABCD中,点E在边AB上,将纸片沿CE折叠,点B落在点B'处,CB'⊥AD,垂足为F.若CF= 4cm,FB'= 1cm,则BE= $\frac{25}{7}$cm.

答案： $\frac{25}{7}$　解析:如图，作EH⊥BC于点H，则∠BHE = ∠CHE = 90°。
∵CF = 4cm，FB' = 1cm，
∴B'C = CF + FB' = 4 + 1 = 5(cm)。由折叠，得BC = B'C = 5cm，∠BCE = ∠B'CE。
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC//AD，DC = BC = 5cm，∠B = ∠D。
∵CB'⊥AD于点F，
∴∠BCB' = ∠CFD = 90°。
∴∠BCE = ∠B'CE = $\frac{1}{2}$∠BCB' = $\frac{1}{2}$×90° = 45°，DF = $\sqrt{DC² - CF²}$ = $\sqrt{5² - 4²}$ = 3(cm)。
∴∠HEC = ∠BCE = 45°。
∴CH = EH。
∵$\frac{EH}{BE}$ = sinB = sinD = $\frac{CF}{DC}$ = $\frac{4}{5}$，$\frac{BH}{BE}$ = cosB = cosD = $\frac{DF}{DC}$ = $\frac{3}{5}$，
∴CH = EH = $\frac{4}{5}$BE，BH = $\frac{3}{5}$BE。
∴$\frac{4}{5}$BE + $\frac{3}{5}$BE = 5，
∴BE = $\frac{25}{7}$cm。

6. (2024·镇江)对于二次函数$y= x^2-2ax+3(a$是常数),有下列结论:①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点;②当a= -1时,这个函数的图像在函数y= -x图像的上方;③若a≥1,则当x＞1时,函数值y随自变量x的增大而增大;④这个函数的最小值不大于3.其中正确的是____①②④(填序号).

答案： ①②④　解析:将二次函数y = x² - 2ax + 3(a是常数)的图像向下平移3个单位长度后得到y = x² - 2ax。当x = 0时，y = 0，
∴平移后的函数图像经过原点，故①正确；当a = - 1时，y = x² + 2x + 3。令x² + 2x + 3 = - x，即x² + 3x + 3 = 0。
∵b² - 4ac = 3² - 4×1×3 = - 3＜0，
∴抛物线y = x² + 2x + 3与直线y = - x没有交点。
∵抛物线开口向上，
∴当a = - 1时，这个函数的图像在函数y = - x图像的上方，故②正确；
∵二次函数y = x² - 2ax + 3(a是常数)，
∴图像开口向上，对称轴为直线x = a。
∴当x＞a时，函数值y随自变量x的增大而增大，故③错误；
∵y = x² - 2ax + 3 = (x - a)² + 3 - a²，
∴图像的顶点为(a，3 - a²)。
∵3 - a² ≤ 3，
∴④正确。

7. (2024·扬州)如图,有两条平行线$l_1、$$l_2,A$是$l_1$上的定点$,AB⊥l_2$于点B,C、D分别是$l_1、$$l_2$上的动点,且满足AC= BD,连接CD交线段AB于点E,BH⊥CD于点H,则当∠BAH最大时,sin∠BAH的值为____.


$\frac{1}{3}$

答案： $\frac{1}{3}$　解析:如图，连接BC、AD。
∵AC//BD，AC = BD，
∴四边形ACBD是平行四边形。
∴AE = BE = $\frac{1}{2}$AB。
∵A为定点，且AB⊥l₂，
∴AE为定值。
∵BH⊥CD，
∴∠BHE = 90°。
∴点H在以BE为直径的圆上运动(点O为圆心)，此时OE = $\frac{1}{2}$BE = $\frac{1}{3}$OA。
∵当AH与⊙O相切时，∠BAH最大，
∴sin∠BAH = $\frac{OH}{OA}$ = $\frac{1}{3}$。

8. (2024·盐城)如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,AC= BC= 2$\sqrt{2}$,D是AC的中点,连接BD,将△BCD绕点B旋转,得到△BEF,连接CF.当CF//AB时,CF= 2 + $\sqrt{6}$或$\sqrt{6}$ - 2.

答案： 2 + $\sqrt{6}$或$\sqrt{6}$ - 2　解析:作BG⊥CF于点G，如图所示。
∵∠ACB = 90°，AC = BC = 2$\sqrt{2}$，D是AC的中点，
∴CD = $\sqrt{2}$，∠ABC = 45°。
∴BD = $\sqrt{BC² + CD²}$ = $\sqrt{(2\sqrt{2})² + (\sqrt{2})²}$ = $\sqrt{10}$。由旋转的性质可知，△DCB≌△FEB。
∴BD = BF = $\sqrt{10}$。
∵CF//AB，
∴∠ABC = ∠BCG = 45°。
∴CG = BC·cos∠BCG = 2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = 2。
∴BG = $\sqrt{BC² - CG²}$ = 2。
∴GF = $\sqrt{BF² - BG²}$ = $\sqrt{(\sqrt{10})² - 2²}$ = $\sqrt{6}$。
∴CF = CG + GF = 2 + $\sqrt{6}$。当点D运动到点F'时，此时CF'//AB。同理可得，GF' = $\sqrt{6}$，CG = 2。
∴CF' = $\sqrt{6}$ - 2。

9. (2023·泰州)如图,在△ABC中,AB= AC,∠A= 30°,射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜75°),与射线AB相交于点D,将△ACD沿射线CP翻折至△A'CD处,射线CA'与射线AB相交于点E.若△A'DE是等腰三角形,则α的度数为22.5°或67.5°或45°.

答案： 22.5°或67.5°或45°　解析:由折叠得，∠ACD = ∠A'CD = α = $\frac{1}{2}$∠ACA'，∠A = ∠DA'C = 30°。分三种情况:当A'D = A'E时，如图①所示，
∴∠A'DE = ∠A'ED = $\frac{1}{2}$(180° - ∠A') = 75°。
∵∠A'ED是△ACE的一个外角，
∴∠ACE = ∠A'ED - ∠A = 45°。
∴∠ACD = ∠A'CD = α = $\frac{1}{2}$∠ACE = 22.5°。当A'D = A'E，△ADC和△A'DC位于射线AB的同侧时，如图②所示，
∴∠A'DE = ∠A'ED = $\frac{1}{2}$∠CA'D = 15°。
∴∠ACA' = 180° - ∠A - ∠A'EA = 135°。
∴∠ACD = ∠A'CD = α = $\frac{1}{2}$∠ACA' = 67.5°。当DA' = DE时，
∴∠A' = ∠DEA' = 30°。
∵∠DEA'是△ACE的一个外角，
∴∠DEA'＞30°，
∴此种情况不成立。当ED = EA'时，如图③所示，
∴∠EDA' = ∠A' = 30°。
∴∠DEA' = 180° - ∠EDA' - ∠A' = 120°。
∵∠A'ED是△ACE的一个外角，
∴∠ACE = ∠A'ED - ∠A = 90°。
∴∠ACD = ∠A'CD = α = $\frac{1}{2}$∠ACE = 45°。综上所述，若△A'DE是等腰三角形，则α的度数为22.5°或67.5°或45°。

10. (15分) 新考法 操作实践题 (2024·扬州)如图,有∠PAQ及AP边上一点C.
(1) 用无刻度的直尺和圆规在射线AQ上求作点O,使得∠COQ= 2∠CAQ(保留作图痕迹,不写作法).
(2) 在(1)的条件下,以点O为圆心、以OA为半径的圆交射线AQ于点B.用无刻度的直尺和圆规在射线CP上求作点M,使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等(保留作图痕迹,不写作法).
(3) 在(1)(2)的条件下,若sinA= $\frac{3}{5}$,CM= 12,求BM的长.

答案：
(1)如图，点O即为所求；
(2)如图，点B、点M即为所求；
(3)由作图可知，OA = OC = OB，
∴∠ACB = 90°。
∵sinA = $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{3}{5}$，
∴设BC = 3k，AB = 5k，则AC = 4k。
∵BM平分∠CBQ，MC⊥CB，MH⊥BQ，
∴∠MBC = ∠MBH，∠MCB = ∠BHM = 90°。
∵BM = BM，
∴△MBC≌△MBH。
∴BC = BH = 3k。
∴AH = AB + BH = 8k。
∵sinA = $\frac{MH}{AM}$ = $\frac{3}{5}$，
∴AM = 10k，MH = MC = 6k。
∴12 = 6k，
∴k = 2。
∴BH = 6，MH = 12。
∴BM = $\sqrt{BH² + MH²}$ = $\sqrt{6² + 12²}$ = 6$\sqrt{5}$。