《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

【分析问题】小明设计了如下三种铲籽方案.
方案1:图②是横向铲籽示意图,每行铲的路径长为(n-1)d,共铲2k行,则铲除全部籽的路径总长为2kd(n-1).
方案2:图③是纵向铲籽示意图,则铲除全部籽的路径总长为2nd(k-1).
方案3:图④是销售员斜着铲籽示意图,写出该方案铲除全部籽的路径总长.
$\frac{\sqrt{2}}{2}×(2k-1)nd$
【解决问题】在三个方案中,哪种方案铲籽路径总长最短? 请写出比较过程,并对销售员的操作方法进行评价.
方案3铲籽路径总长最短 2(n-1)dk-2(k-1)dn=2ndk-2dk-2ndk+2dn=2d(n-k)＞0.
∴ 方案1的路径总长大于方案2的路径总长.2(k-1)dn-$\frac{\sqrt{2}}{2}×(2k-1)dn=[(2-\sqrt{2})k-2+\frac{\sqrt{2}}{2}]dn$.
∵ n＞k≥3,
∴ 当k=3时,$(2-\sqrt{2})×3-2+\frac{\sqrt{2}}{2}=4-\frac{5\sqrt{2}}{2}＞0$.
∴ 2(k-1)dn-$\frac{\sqrt{2}}{2}×(2k-1)dn＞0$.
∴ 方案3铲籽路径总长最短,销售员的操作方法是选择最短的路径,减少对菠萝的损耗

答案： 【分析问题】方案1:(n-1)d 2k 2kd(n-1) 解析:根据题意每行有n个籽,行上相邻两个籽的间距为d,
∴ 每行铲的路径长为(n-1)d.
∵ 每列有k个籽,呈交错规律排列,
∴ 相当于有2k行.
∴ 铲除全部籽的路径总长为2(n-1)dk.
方案2:2nd(k-1) 解析:根据题意每列有k个籽,列上相邻两个籽的间距为d,
∴ 每列铲的路径长为(k-1)d.
∵ 每行有n个籽,呈交错规律排列,
∴ 相当于有2n列.
∴ 铲除全部籽的路径总长为2(k-1)dn.
方案3:由题图,得斜着铲每两个籽之间的距离为$\frac{\sqrt{d^{2}+d^{2}}}{2}=\frac{\sqrt{2}d}{2}$.根据题意得一共有2n列,2k行,斜着铲相当于有n条线段长,同时有(2k-1)个间距,
∴ 铲除全部籽的路径总长为$\frac{\sqrt{2}}{2}×(2k-1)nd$【解决问题】方案3铲籽路径总长最短 2(n-1)dk-2(k-1)dn=2ndk-2dk-2ndk+2dn=2d(n-k)＞0.
∴ 方案1的路径总长大于方案2的路径总长.2(k-1)dn-$\frac{\sqrt{2}}{2}×(2k-1)dn=[(2-\sqrt{2})k-2+\frac{\sqrt{2}}{2}]dn$.
∵ n＞k≥3,
∴ 当k=3时,$(2-\sqrt{2})×3-2+\frac{\sqrt{2}}{2}=4-\frac{5\sqrt{2}}{2}＞0$.
∴ 2(k-1)dn-$\frac{\sqrt{2}}{2}×(2k-1)dn＞0$.
∴ 方案3铲籽路径总长最短,销售员的操作方法是选择最短的路径,减少对菠萝的损耗