《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

22. (10分)(2024·烟台一模)如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E,且BD平分$\angle ABC$,$\angle BAC= \angle ADB$.
(1) 求证:BD为圆的直径;
(2) 过点C作$CF// AD$交AB的延长线于点F,若$AC = AD$,$BF = 2$,求此圆的半径.

答案： （1）
∵$∠BAC=∠ADB$,$∠BAC=∠CDB$,
∴$∠CDB=∠ADB$.
∵BD平分$∠ABC$,
∴$∠ABD=∠CBD$.
∵四边形ABCD是圆的内接四边形,
∴$∠ABC+∠ADC=180^{\circ}$.
∴$∠CDB+∠ADB+∠ABD+∠CBD=180^{\circ}$.
∴$2(∠ADB+∠ABD)=180^{\circ}$,即$∠ADB+∠ABD=90^{\circ}$.
∴$∠BAD=90^{\circ}$.
∴BD为圆的直径 （2）
∵BD平分$∠ABC$,
∴$∠ABD=∠CBD$.
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$.
∴$AD=CD$.
∵$AC=AD$,
∴$AC=AD=CD$.
∴△ACD是等边三角形.
∴$∠ADC=60^{\circ}$.
∴$∠ABC=180^{\circ}-∠ADC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$.
∴$∠CBF=180^{\circ}-∠ABC=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$.
∵$CF// AD$,
∴$∠BAD+∠F=180^{\circ}$.
∵$∠BAD=90^{\circ}$,
∴$∠F=90^{\circ}$.
∴$∠BCF=30^{\circ}$.
∴$BC=2BF$.
∵$BF=2$,
∴$BC=4$.
∵BD为直径,
∴$∠BCD=90^{\circ}$.
∵$∠ADB=∠CDB$,$∠ADC=60^{\circ}$,
∴$∠CDB=30^{\circ}$.
∴$BD=2BC=8$.
∴圆的半径为4

23. (10分)在同一个圆中,两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”.如图①,AB、CD是$\odot O$的弦,如果$AB = CD$,$AB\perp CD$,垂足为E,那么AB、CD是“等垂弦”.
(1) 如图②,AB是$\odot O$的弦,$OC\perp OA$,$OD\perp OB$,分别交$\odot O$于点C、D,连接CD,求证:AB、CD是$\odot O$的“等垂弦”;
(2) 在图①中,若$\odot O$的半径为5,且$\frac{BE}{AE}= \frac{1}{3}$,求AB的长.

答案： （1）如图①,连接BC,设AB与CD交于点F.
∵$OC⊥OA$,$OD⊥OB$,
∴$∠AOC=∠BOD=90^{\circ}$.
∴$∠AOB=∠COD$.
∴$AB=CD$.
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC}$,
∴$∠ABC=\frac{1}{2}∠AOC=45^{\circ}$.同理,可得$∠BCD=\frac{1}{2}∠BOD=45^{\circ}$.
∴$∠AFC=∠ABC+∠BCD=90^{\circ}$,即$AB⊥CD$.
∵$AB=CD$,
∴AB、CD是⊙O的"等垂弦" （2）如图②,连接OC,作$OH⊥AB$,垂足为H,作$OG⊥CD$,垂足为G,则四边形OHEG为矩形.
∵AB、CD是⊙O的"等垂弦",
∴$AB=CD$,$AB⊥CD$.
∴$AH=BH=DG=\frac{1}{2}AB$.
∵$OA=OD$,$∠AHO=∠DGO=90^{\circ}$,
∴Rt△AHO≌Rt△DGO.
∴$OH=OG$.
∴矩形OHEG为正方形.
∴$OH=HE$.
∵$\frac{BE}{AE}=\frac{1}{3}$,$AH=BH$,
∴$AH=2BE=2OH$.在Rt△AOH中,$AO^{2}=AH^{2}+OH^{2}$,即$(2OH)^{2}+OH^{2}=AO^{2}=25$.
∴$OH=\sqrt{5}$.
∴$AB=4OH=4\sqrt{5}$