《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

20. (8分)(2024·南京)如图,港口B位于港口A的北偏西$37^{\circ }$方向,港口C位于港口A的北偏东$21^{\circ }$方向,港口C位于港口B的北偏东$76^{\circ }$方向.一艘海轮从港口A出发,沿正北方向航行.已知港口B到航线的距离为12km,求港口C到航线的距离(参考数据:$tan21^{\circ }\approx \frac {8}{21},tan37^{\circ }\approx \frac {3}{4},tan76^{\circ }\approx 4$).

答案： 如图,设BC交航线于点D,过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD于点F,则易得∠BDE=∠CDF=76°,BE=12km.由题意知,∠BAE=37°,∠CAF=21°.
∵tan∠BDE=(BE)/(DE),
∴DE=(BE)/(tan76°)≈
(12)/4=3(km).
∵tan∠BAE=(BE)/(AE),
∴AE=(BE)/(tan37°)≈
(12)/(3/4)=16(km).设CF=xkm.
∵tan∠CDF=(CF)/(DF)=tan76°≈4,
∴DF≈
(1)/4CF=
(1)/4·x=
(1)/4x (km).
∴AF=AE+DE+DF=16+3+
(1)/4x=(19+
(1)/4x)km.
∵tan∠CAF=(CF)/(AF)=tan21°≈
(8)/21,
∴CF≈
(8)/21AF,即x=
(8)/21·(19+
(1)/4x),解得x=8.
∴港口C到航线的距离约为8km

21. (10分)(2024·苏州)如图①所示为某种可调节支撑架的示意图,BC为水平固定杆,竖直固定杆$AB⊥BC$,活动杆AD可绕点A旋转,CD为液压可伸缩支撑杆,已知$AB= 10cm,BC= 20cm,AD= 50cm$.
(1) 如图②,当活动杆AD处于水平状态时,求可伸缩支撑杆CD的长度(结果保留根号);
(2) 如图③,当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α,且$tanα= \frac {3}{4}$(α为锐角),求此时可伸缩支撑杆CD的长度(结果保留根号).

答案：
(1)如图①,过点C作CE⊥AD,垂足为E.由题意得,AB=CE=10cm,BC=AE=20cm.
∵AD=50cm,
∴ED=AD-AE=50-20=30(cm).在Rt△CED中,CD=√(CE²+DE²)=√(10²+30²)=10√10(cm),
∴此时可伸缩支撑杆CD的长度为10√10cm
(2)如图②,过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F,交AD'于点G.由题意得,AB=FG=10cm,AG=BF,∠AGD=90°.在Rt△ADG中,tanα=(DG)/(AG)=
(3)/4,
∴设DG=3xcm,则AG=4xcm.
∴AD=√(AG²+DG²)=√((4x)²+(3x)²)=5x(cm).
∵AD=50cm,
∴5x=50,解得x=10.
∴AG=40cm,DG=30cm.
∴DF=DG+FG=30+10=40(cm).
∴BF=AG=40cm.
∵BC=20cm,
∴CF=BF-BC=40-20=20(cm).在Rt△CFD中,CD=√(CF²+DF²)=√(20²+40²)=20√5(cm).
∴此时可伸缩支撑杆CD的长度为20√5cm