《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

20. (8分)如图,D、E、F分别是$\triangle ABC$的AB、AC、BC边上的点,$DE// BC,DF// AC$.
(1)求证:$\triangle ADE\backsim \triangle DBF$;
(2)若$\frac {AD}{AB}= \frac {2}{5},S_{\triangle BDF}= 9cm^{2}$,求$S_{\triangle ADE}和S_{\triangle ABC}$.

答案： （1）
∵$DE// BC$,$DF// AC$,
∴$\angle ADE=\angle DBF$,$\angle AED=\angle C$,$\angle DFB=\angle C$.
∴$\angle AED=\angle DFB$.
∴$\triangle ADE\backsim\triangle DBF$；（2）
∵$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$,
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{2}{3}$.又
∵$\triangle ADE\backsim\triangle DBF$,
∴$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle DBF}}=(\frac{AD}{BD})^{2}=\frac{4}{9}$.
∵$S_{\triangle DBF}=9\ \text{cm}^{2}$,
∴$S_{\triangle ADE}=4\ \text{cm}^{2}$.
∵$DE// BC$,
∴$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$.
∴$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac{AD}{AB})^{2}=\frac{4}{25}$.
∴$S_{\triangle ABC}=25\ \text{cm}^{2}$

21. (10分)(2024·巴中)如图,$\triangle ABC内接于\odot O$,D为$\widehat {BC}$的中点,连接AD、BD,BE平分$∠ABC$,交AD于点E,过点D作$DF// BC$,交AC的延长线于点F.
(1)求证:DF是$\odot O$的切线;
(2)求证:$BD= ED$;
(3)若$DE= 5,CF= 4$,求AB的长.

答案：
（1）如图,连接OD.
∵D为$\overset{\frown}{BC}$的中点,点O为圆心,
∴$OD\perp BC$.
∵$DF// BC$,
∴$OD\perp DF$.
∵OD为$\odot O$的半径,
∴DF是$\odot O$的切线；（2）
∵D为$\overset{\frown}{BC}$的中点,
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$.
∴$\angle DBC=\angle BAD$.
∵BE平分$\angle ABC$,
∴$\angle ABE=\angle CBE$.
∵$\angle DEB$是$\triangle ABE$的外角,
∴$\angle DEB=\angle BAE+\angle ABE$.
∵$\angle DBE=\angle CBE+\angle DBC$,
∴$\angle DEB=\angle DBE$.
∴$BD=ED$；（3）如图,连接CD.
∵四边形ABDC是圆的内接四边形,
∴$\angle ABD+\angle ACD = 180^{\circ}$.
∵$\angle DCF+\angle ACD = 180^{\circ}$,
∴$\angle ABD=\angle DCF$.
∵$DF// BC$,
∴$\angle ACB=\angle F$.
∵$\angle ACB=\angle ADB$,
∴$\angle ADB=\angle F$.
∴$\triangle ABD\backsim\triangle DCF$.
∴$\frac{BD}{CF}=\frac{AB}{CD}$.
∵D为$\overset{\frown}{BC}$的中点,
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$.
∴$BD=CD$.由
(2)知$BD=ED$,
∴$CD=BD=DE=5$.
∵$CF = 4$,
∴$\frac{5}{4}=\frac{AB}{5}$.
∴$AB=\frac{25}{4}$