《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

24. (12 分)新考法 项目式学习(2024·常州武进期中)【项目学习】
配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方公式或几个完全平方公式的和的方法,这种方法常被用到代数式的变形中,并结合非负数的意义来解决一些问题.
例如:把二次三项式$x^{2}-2x + 3$进行配方.
解:$x^{2}-2x + 3= x^{2}-2x + 1 + 2= (x^{2}-2x + 1)+2= (x - 1)^{2}+2$.
定义:一个整数能表示成$a^{2}+b^{2}$($a$、$b$是整数)的形式,则称这个数为“完美数”.例如:$\because5 = 2^{2}+1^{2}$,$\therefore5$是“完美数”.再如,$M = x^{2}+2xy + 2y^{2}= (x + y)^{2}+y^{2}$($x$、$y$是整数),$\therefore M$也是“完美数”.
【问题解决】
(1) 请你再写一个小于 10 的“完美数”:4(答案不唯一),40是(填“是”或“不是”)“完美数”;
(2) 若二次三项式$x^{2}-6x + 13$($x$是整数)是“完美数”,可配方成$(x - m)^{2}+n$($m$、$n$为常数)的形式,则$mn$的值为12;
【问题探究】
(3) 已知“完美数”$x^{2}+y^{2}-2x + 4y + 5$($x$、$y$是整数)的值为 0,则$x + y$的值为-1;
(4) 已知$S = x^{2}+4y^{2}+8x - 12y + k$($x$、$y$是整数,$k$是常数),要使$S$为“完美数”,试求出符合条件的$k$的值;$k=25$
【问题拓展】
(5) 已知实数$x$、$y满足-x^{2}+3x + y - 5 = 0$,求$x + y$的最小值.4

答案：
(1)4(答案不唯一) 是 解析:4 = 2² + 0².
∵40 = 6² + 2²,
∴40是"完美数".
(2)12 解析:
∵x² - 6x + 13 = x² - 6x + 9 + 4 = (x - 3)² + 4²,
∴m = 3,n = 4.
∴mn = 12.
(3)- 1 解析:
∵x² + y² - 2x + 4y + 5 = (x - 1)² + (y + 2)² = 0,
∴x = 1,y = - 2.
∴x + y = - 1.
(4)S = x² + 4y² + 8x - 12y + k = (x + 4)² + (2y - 3)² + k - 25.由题意,得k - 25 = 0,
∴k = 25
(5)
∵ - x² + 3x + y - .5 = 0,
∴x + y = x² - 2x + 5 = (x - 1)² + 4.
∴当x = 1时,x + y的最小值是4.