《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

19. (8分)(2024·河南)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度$h(m)满足关系式h = - 5t^{2}+v_{0}t$,其中$t(s)$是物体运动的时间,$v_{0}(m/s)$是物体被发射时的速度.社团活动时,科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球.
(1) 小球被发射后$\frac{v_{0}}{10}$$s$,离地面的高度最大(用含$v_{0}$的式子表示).
(2) 若小球离地面的最大高度为$20m$,求小球被发射时的速度.
当$t=\frac{v_{0}}{10}$时，$h=20$。∴$-5×(\frac{v_{0}}{10})^{2}+v_{0}×\frac{v_{0}}{10}=20$，解得$v_{0}=20$（负值舍去）。∴小球被发射时的速度是$20m/s$。
(3) 按(2)中的速度发射小球,小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说:“这两次间隔的时间为$3s$.”已知实验楼高$15m$,请判断他的说法是否正确,并说明理由.
小明的说法不正确。理由：由(2)得，$h=-5t^{2}+20t$。当$h=15$时，$15=-5t^{2}+20t$，解得$t_{1}=1$，$t_{2}=3$。∵$3 - 1=2(s)$，∴小明的说法不正确。

答案：
(1)v₀/10 解析:
∵-5＜0,
∴当t=-b/(2a)=v₀/10时,离地面的高度最大.
(2)当t=v₀/10时,h=20.
∴-5×(v₀/10)²+v₀×v₀/10=20,解得v₀=20(负值舍去).
∴小球被发射时的速度是20 m/s
(3)小明的说法不正确 理由:由
(2)得,h=-5t²+20t.当h=15时,15=-5t²+20t,解得t₁=1,t₂=3.
∵3-1=2(s),
∴小明的说法不正确.

20. (8分)已知二次函数$y = ax^{2}-4ax + c$.
(1) 若该二次函数的图像经过$(1,3)和(4,0)$两点.
① 求这个二次函数的表达式;
② 若经过点$A(-1,1)的直线y = kx + b$与该二次函数位于第一象限的图像只有一个交点,请求出$b$的取值范围.
(2) 若$c = 4a + 4$,该二次函数位于$x轴上方的图像与x$轴构成的封闭图形(不包括边界)有$7$个整点,求出$a$的取值范围.

答案：

(1)① 将(1,3)和(4,0)代入y=ax²-4ax+c,得{a-4a+c=3,16a-16a+c=0,解得{a=-1,c=0.
∴y=-x²+4x ② 把A(-1,1)代入y=kx+b,得1=-k+b.整理,得k=b-1.
∴y=(b-1)x+b.
∵y=-x²+4x=-(x-2)²+4,
∴图像的顶点坐标为(2,4).把x=0代入y=-x²+4x,得y=0.
∴抛物线经过原点将(0,0)代入y=(b-1)x+b,得b=0.将(4,0)代入y=(b-1)x+b,得5b-4=0,解得b=4/5.
∴0＜b＜4/5满足题意.令(b-1)x+b=-x²+4x,整理,得x²+(b-5)x+b=0.
∴b²-4ac=(b-5)²-4b=0,解得b=7±2√6.
∵抛物线的顶点坐标为(2,4),
∴b=7-2√6.
∴b的取值范围是0＜b＜4/5或b=7-2√6
(2)
∵y=ax²-4ax+4a+4=a(x-2)²+4,
∴抛物线的顶点坐标为(2,4).当a＞0时,抛物线开口向上,与x轴无交点,不符合题意
∴a＜0.如图,当区域内包含整点(1,1)、(2,1)、(3,1)、(1,2)、(2,2)、(3,2)、(2,3)时满足题意.当抛物线过点(1,2)时,a-4a+4a+4=2,解得a=-2;当抛物线过点(1,3)时,a-4a+4a+4=3,解得a=-1
∴当该二次函数位于x轴上方的图像与x轴构成的封闭图形(不包括边界)有7个整点时,a的取值范围是-2＜a≤-1