《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

25. (9分)如图,四边形$ A B C D 是 \odot O $的内接四边形,过点$ A 作 \odot O 的切线交 C D 的延长线于点 E $,$ B C // A E $.
(1)求证:$ A B = A C $;
(2)求证:$ \triangle A D E \backsim \triangle B D A $;
(3)若$ A C \perp B D $,$ B C = 4 $,$ C D = \sqrt { 5 } $,则$ A E $的长为____$\frac{30}{11}$.

答案：
(1)如图①,连接AO并延长,交BC于点F.
∵AE是$\odot O$的切线,
∴$AF\perp AE$,即$\angle EAF = 90^{\circ}$.
∵$BC// AE$,
∴$\angle AFC = 90^{\circ}$,即$AF\perp BC$.
∴AF是BC的垂直平分线.
∴$AB = AC$;
(2)
∵四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,
∴$\angle ABC+\angle ADC = 180^{\circ}$,$\angle BAD+\angle BCD = 180^{\circ}$.
∵$\angle ADE+\angle ADC = 180^{\circ}$,
∴$\angle ABC=\angle ADE$.
∵$AB = AC$,
∴$\angle ABC=\angle ACB$.
∵$\angle BDA=\angle ACB$,
∴$\angle ADE=\angle BDA$.
∵$BC// AE$,
∴$\angle E+\angle BCD = 180^{\circ}$.
∴$\angle E=\angle BAD$.在$\triangle ADE$和$\triangle BDA$中,$\angle ADE=\angle BDA$,$\angle E=\angle BAD$,
∴$\triangle ADE\sim\triangle BDA$;
(3)$\frac{30}{11}$

26. (9分)已知二次函数$ y = a x ^ { 2 } + b x + c 的图像经过 ( 2 , 1 ) $、$ ( - 1 , - 2 ) $两点,对称轴为直线$ x = m $.
(1)该函数的图像与$ x $轴的公共点的个数是C.
A. 0 B. 1 C. 2
(2)当$ a ＞ 0 $时,试说明$ m ＜ \frac { 1 } { 2 } $.
∵$a＞0$,
∴$x = m=-\frac{b}{2a}=\frac{a - 1}{2a}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2a}＜\frac{1}{2}$
(3)若点$ A ( - 2 , y _ { 1 } ) $、$ B ( 0 , y _ { 2 } ) $都在该函数的图像上.当$ y _ { 1 } ＜ y _ { 2 } $时,结合函数的图像,直接写出$ m $的取值范围.$m＞\frac{1}{2}$或$m＜-1$

答案：
(1)C;
(2)
∵$a＞0$,
∴$x = m=-\frac{b}{2a}=\frac{a - 1}{2a}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2a}＜\frac{1}{2}$;
(3)$m＞\frac{1}{2}$或$m＜-1$