《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

24. (10分)(2024·苏州姑苏段考)如图,二次函数$y= ax^{2}+bx+2的图像经过点A(-1,0)和点B(4,0)$,交y轴于点C,连接BC.D为第一象限图像上一动点,过点D分别作x轴和y轴的垂线,交BC于点E和点F.
(1)求此二次函数的表达式.
(2)求$\triangle DEF$面积的最大值及此时点D的坐标.
(3)当$\triangle DEF$面积最大时,在抛物线上是否存在一点M,使$∠OCM= \frac {1}{2}∠BCD$?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
（1）
∵二次函数$y = ax^{2}+bx + 2$的图像经过点$A(-1,0)$和点$B(4,0)$,
∴$\begin{cases}a - b + 2 = 0,\\16a + 4b + 2 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{2},\\b = \frac{3}{2}.\end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y = -\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x + 2$；（2）
∵$DF\perp y$轴,
∴易得$DF// x$轴.
∴$\angle DFE=\angle CBO$.
∵$\angle EDF=\angle BOC = 90^{\circ}$,
∴$\triangle DEF\backsim\triangle OCB$.
∴$DF:DE = OB:OC$.当$x = 0$时,$y = 2$,
∴$OC = 2$,$OB = 4$.
∴$DF = 2DE$.
∴$S_{\triangle DEF}=\frac{1}{2}DE\cdot DF = DE^{2}$.设直线BC对应的函数表达式为$y = kx + 2$.
∵$B(4,0)$,
∴$k = -\frac{1}{2}$.
∴直线BC对应的函数表达式为$y = -\frac{1}{2}x + 2$.设$D(t,-\frac{1}{2}t^{2}+\frac{3}{2}t + 2)$,则$E(t,-\frac{1}{2}t + 2)$.
∴$DE=-\frac{1}{2}t^{2}+\frac{3}{2}t + 2-(-\frac{1}{2}t + 2)=-\frac{1}{2}t^{2}+2t=-\frac{1}{2}(t - 2)^{2}+2$.
∵$-\frac{1}{2}＜0$,
∴当$t = 2$时,DE的值最大,最大值为2,此时$S_{\triangle DEF}=4$.
∴当点D的坐标为$(2,3)$时,$\triangle DEF$的面积最大,最大值为4；（3）存在.由
(2),知$D(2,3)$.
∴$E(2,1)$.
∴$CD=\sqrt{5}$,$CE=\sqrt{5}$,即$CD = CE$.过点C作$CG\perp DE$于点G,如图所示.
∴易得CG平分$\angle DCB$,$CG = 2$,$DG = 1$.
∴$\angle DCG=\angle ECG$.设N为x轴上一点,且$\angle OCN=\angle DCG$.
∵$\angle CON=\angle CGD = 90^{\circ}$,$OC = CG = 2$,
∴$\triangle OCN\cong\triangle GCD$.
∴$ON = DG = 1$.
∴$N(1,0)$或$(-1,0)$.当点N的坐标为$(1,0)$时,直线CN对应的函数表达式为$y = - 2x + 2$.令$-2x + 2=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x + 2$,解得$x = 0$(舍去)或$x = 7$.
∴$M(7,-12)$;当点N的坐标为$(-1,0)$时,点M与点A重合.综上,符合题意的点M的坐标为$(-1,0)$或$(7,-12)$