《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

19. (8分)(2024·巴中)某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动.如图,斜坡BE的坡度$i = 1:\sqrt{3}$,BE= 6m,在点B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°,在点E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°.求:
(1) 点B离水平地面的高度AB;
(2) 电线塔CD的高度(结果保留根号).

答案：

(1) 由题意得,BA⊥AE.
∵斜坡BE的坡度i=1:$\sqrt{3}$,
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.在Rt△ABE中,tan∠BEA=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴∠BEA=30°.
∵BE=6 m,
∴AB=BE·sin30°=6×$\frac{1}{2}$=3(m).
∴点B离水平地面的高度AB为3 m。
(2)如图,过点B作BF⊥CD,垂足为F.由题意得,AB=CF=3 m,BF=AC.设EC=x m.
∵AB:AE=1:$\sqrt{3}$,AB=3 m,
∴AE=3$\sqrt{3}$ m.
∴BF=AC=AE+CE=(x + 3$\sqrt{3}$)m.在Rt△CDE中,∠DEC=60°,
∴CD=CE·tan60°=x·$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$x(m).在Rt△BDF中,∠DBF=45°,
∴DF=BF·tan45°=(x + 3$\sqrt{3}$)m.
∵DF + CF=CD,
∴x + 3$\sqrt{3}$ + 3=$\sqrt{3}$x,解得x=6 + 3$\sqrt{3}$.
∴CD=(6$\sqrt{3}$ + 9)m.
∴电线塔CD的高度为(6$\sqrt{3}$ + 9)m。
　　　　　　　　

20. (8分)(2024·泸州)如图,海中有一个小岛C,某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上,该渔船由西向东航行一段时间后到达B点,测得小岛C位于北偏西30°方向上,再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点,这时测得小岛C位于北偏西60°方向上.已知A点和小岛C相距30n mile.求C、D两点间的距离(计算过程中的数据不取近似值).

答案：
如图,过点C作CH⊥AB于点H.
∵∠CAB=45°,AC=30 n mile,
∴AH=CH=15$\sqrt{2}$ n mile.
∵∠CBH=60°,
∴BC=$\frac{CH}{sin60°}$=$\frac{15\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=10$\sqrt{6}$(n mile).过点D作DG⊥AB于点G.
∴∠DBG=180°-60°-30°-60°=30°,∠BDG=60°,∠CDB=60°.
∴CD=$\frac{BC}{sin60°}$=$\frac{10\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=20$\sqrt{2}$(n mile).
∴C、D两点间的距离为20$\sqrt{2}$ n mile。