《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

19. (8分)A、B两家酒店规模相当,去年下半年的月盈利折线统计图如图所示.
(1)分别求这两家酒店7~12月的月盈利的平均数;
(2)已知A、B两家酒店7~12月的月盈利的方差分别为1.073万元$ ^ { 2 } $和0.54万元$ ^ { 2 } $,结合折线统计图,分析这两家酒店的经营状况.

答案：
(1)A酒店月盈利的平均数为$\frac{1 + 1.6+2.2 + 2.7+3.5 + 4}{6}=2.5$(万元),B酒店月盈利的平均数为$\frac{2 + 3+1.7 + 1.8+1.7 + 3.6}{6}=2.3$(万元);
(2)A酒店的经营状况较好,A酒店月盈利的平均数大于B酒店，且A酒店的月盈利持续稳定增长,潜力大(合理即可)

20. (6分)如图,在$ \odot O $中,弦$ A B \perp C D $,垂足为$ E $,连接$ B C $,$ \angle B = 45 ^ { \circ } $.求证$ A B = C D $.

答案： 如图,连接OA、OB、OC、OD.
∵弦$AB\perp CD$,
∴$\angle BEC = 90^{\circ}$.
∵$\angle ABC = 45^{\circ}$,
∴$\angle BCE=\angle ABC = 45^{\circ}$.
∴$\angle BOD=\angle AOC$.
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$.
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$.
∴$AB = CD$

21. (8分)已知关于$ x 的一元二次方程 a x ^ { 2 } + x - a - 1 = 0 $.
(1)求证:方程总有实数根;
(2)设方程的两个根分别为$ x _ { 1 } $、$ x _ { 2 } $,求$ ( x _ { 1 } - 1 ) ( x _ { 2 } - 1 ) $的值.

答案：
(1)
∵$b^{2}-4ac=1^{2}-4× a× (-a - 1)=1 + 4a^{2}+4a=(2a + 1)^{2}\geq 0$,
∴方程总有实数根;
(2)
∵方程的两个根分别为$x_{1}$、$x_{2}$,
∴$x_{1}+x_{2}=-\frac{1}{a}$,$x_{1}x_{2}=\frac{-a - 1}{a}$.
∴$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1=\frac{-a - 1}{a}-(-\frac{1}{a})+1 = 0$