《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

9. (12分)(2024·武汉模拟)如图,四边形ABCD为平行四边形,O为AD上一点,以OA为半径作$\odot O$,与BC、CD的延长线分别相切于点B、E,与AD相交于点F.
(1)求$∠C$的度数;
(2)试探究AB、DE、DF之间的数量关系,并证明.

答案： （1）如图,连接 OB.
∵ BC 为⊙O 的切线,
∴ ∠OBC=90°.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD//BC.
∴ ∠DOB=90°.
∵ OA=OB,∠DOB=∠OAB+∠OBA,
∴ ∠DOB=2∠OAB.
∴ ∠OAB=45°.在平行四边形 ABCD中,∠OAB=∠C.
∴ ∠C=45° （2）AB=DE+DF 如图,连接 OE.
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,
∴ AD//BC.
∴ ∠EDO=∠C=∠OAB.又
∵ CE 为⊙O 的切线,
∴ CE⊥OE.
∴ ∠DEO=90°.在△DEO 和△AOB 中,$\left\{\begin{array}{l} ∠EDO=∠OAB,\\ ∠DEO=∠AOB=90°,\\ OE=OB,\end{array}\right.$
∴ △DEO≌△AOB.
∴ OD=AB,DE=OA.
∵ OF=OA,
∴ OF=DE.
∵ AB=OD=OF+DF,
∴ AB=OF+DF=DE+DF

10. (15分)(2024·盐城大丰段考)如图,在平面直角坐标系中,$Rt△ABC$的斜边AB在y轴上,边AC与x轴交于点D,AE平分$∠BAC$,交BC于点E,经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上,$\odot F$与y轴相交于另一点G.
(1)求证:BC是$\odot F$的切线;
(2)若点A、D的坐标分别为$A(0,-1)$、$D(3,0)$,求$\odot F$的半径.

答案： （1）如图,连接 EF.
∵ AE 平分∠BAC,
∴ ∠CAE=∠FAE.
∵ FA=FE,
∴ ∠FEA=∠FAE.
∴ ∠EAC=∠FEA.
∴ FE//AC.
∴ ∠FEB=∠C=90°,即 BC⊥EF.
∵ EF 为⊙F 的半径,
∴ BC 是⊙F 的切线 （2）如图,连接 FD.设⊙F 的半径为 r.
∵ D(3,0)、A(0,-1),
∴ OA=1,OD=3.
∴ OF=r-1.在Rt△ODF 中,OF²+OD²=DF²,即(r-1)²+3²=r²,解得 r=5,即⊙F 的半径为 5

11. (15分)新考法 尺规作图 (2024·扬州邗江段考)如图,在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,切点为C.
(1)求证:C是AB的中点;
如图①,连接 OC.
∵ AB 是小圆的切线,
∴ OC⊥AB.
∴ 易得 OC 平分 AB,即 C 是 AB 的中点
(2)若$AB= 6cm$,则两个同心圆组成的圆环的面积为____$cm^{2}$(结果保留π);
9π(3)若以点A为圆心、AB长为半径画弧,交大圆于点D,连接AD,请在备用图中补全图形,猜想AD与小圆的位置关系,并说明理由.
补全图形如图③所示 AD 与小圆相切 理由:如图③,连接 OA、OC、OB、OD,过点 O 作 OE⊥AD 于点 E.
∴ 易得AD=AB.在△ADO 和△ABO 中,$\left\{\begin{array}{l} AD=AB,\\ OD=OB,\\ OA=OA,\end{array}\right.$
∴ △ADO≌△ABO.
∴ ∠DAO=∠BAO.
∵ OE⊥AD,OC⊥AB,
∴ OE=OC.
∴ AD 与小圆相切.

答案： （1）如图①,连接 OC.
∵ AB 是小圆的切线,
∴ OC⊥AB.
∴ 易得 OC 平分 AB,即 C 是 AB 的中点 （2）9π 解析:如图②,连接 OA、OC.
∵ OC垂直平分 AB,AB=6 cm,
∴ AC=$\frac{1}{2}$AB=3 cm.
∴ OA²-OC²=AC²=9 cm².
∴ 圆环的面积为 π(OA²-OC²)=9π(cm²). （3）补全图形如图③所示 AD 与小圆相切 理由:如图③,连接 OA、OC、OB、OD,过点 O 作 OE⊥AD 于点 E.
∴ 易得AD=AB.在△ADO 和△ABO 中,$\left\{\begin{array}{l} AD=AB,\\ OD=OB,\\ OA=OA,\end{array}\right.$
∴ △ADO≌△ABO.
∴ ∠DAO=∠BAO.
∵ OE⊥AD,OC⊥AB,
∴ OE=OC.
∴ AD 与小圆相切.