《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

22. (8分)如图,在四边形$ A B C D $中,$ A C $、$ B D 相交于点 F $,点$ E 在 B D $上,且$ \frac { A B } { A E } = \frac { B C } { E D } = \frac { A C } { A D } $.求证:
(1)$ \angle 1 = \angle 2 $;
(2)$ \triangle A B E \backsim \triangle A C D $.

答案：
(1)
∵$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$,
∴$\triangle ABC\sim\triangle AED$.
∴$\angle CAB=\angle DAE$.
∴$\angle CAB-\angle EAF=\angle DAE-\angle EAF$,即$\angle 1=\angle 2$;
(2)
∵$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$,
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$.由
(1)知,$\angle 1=\angle 2$,
∴$\triangle ABE\sim\triangle ACD$

23. (6分)某商店经销的某种商品,每件成本为30元.经市场调研发现,售价为40元时,可销售600件;售价每提高1元,销售量将减少10件.当销售价格是多少时,才能获得最大利润?最大利润是多少?

答案： 设当销售价格是x元时,才能获得最大利润,最大利润是w元.由题意,得$w=(x - 30)[600 - 10(x - 40)]=-10(x - 65)^{2}+12250$,
∴当销售价格是65元时,才能获得最大利润，最大利润是12250元

24. (8分)对于三个不相等的实数$ a $、$ b $、$ c $,我们规定符号$ \max \{ a , b , c \} 表示 a $、$ b $、$ c $中的最大值,如:$ \max \{ - 1 , 0 , 2 \} = 2 $.
(1)若$ \max \{ 1 , 2 x , x ^ { 2 } + 3 \} = 7 $,求$ x $的值;
(2)当$ 0 ＜ x ＜ 1 $时,$ \max \{ x , k x + 1 , x ^ { 2 } \} = k x + 1 $,求$ k $的取值范围.

答案：
(1)
∵$max\{1,2x,x^{2}+3\}=7$,
∴$2x = 7$或$x^{2}+3 = 7$.当$2x = 7$时,$x=\frac{7}{2}$,则$x^{2}+3=\frac{49}{4}+3=\frac{61}{4}＞7$,不合题意,舍去;当$x^{2}+3 = 7$时,$x = 2$或−2,当$x = 2$时,$2x = 4＜7$,当$x = -2$时,$2x = -4＜7$,符合题意.
∴x的值为2或−2;
(2)
∵$0＜x＜1$,
∴$x - x^{2}=x(1 - x)＞0$,
∴$x＞x^{2}$.
∵$max\{x,kx + 1,x^{2}\}=kx + 1$,
∴$kx + 1\geq x$.结合函数$y = kx + 1$,$y = x(0＜x＜1)$的图像,易得$k\geq 0$