《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

22. (10分)(2024·东台期中)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = BC = 8$,P为AB的中点,E为BC上一动点,过点P作$FP\perp PE$交AC于点F,经过P、E、F三点确定$\odot O$.
(1)试说明:点C在$\odot O$上.
(2)点E在运动过程中,$\angle PEF$的度数是否发生变化? 若不变,求出$\angle PEF$的度数;若变化,请说明理由.
(3)求线段EF长的取值范围.

答案：

(1)
∵FP⊥PE,经过P、E、F三点确定⊙O,
∴⊙O的直径为EF.
∵∠FCE = 90°,
∴点C在⊙O上
(2)不发生变化 如图,连接PC.
∵AC = BC,∠ACB = 90°,
∴△ABC是等腰直角三角形.
∵P是AB的中点,
∴CP平分∠ACB.
∴∠ACP = 45°.
∵FP = FP,
∴∠ACP = ∠PEF = 45°
(3)由
(2),易得△EFP是等腰直角三角形,
∴FE = $\sqrt{2}$PE.当PE⊥BC时,此时PE = $\frac{1}{2}$BC = 4.当点E与点B或点C重合时,此时易得PE = 4$\sqrt{2}$.
∴4≤PE≤4$\sqrt{2}$.
∴4$\sqrt{2}$≤EF≤8

23. (8分)(2024·东台期中)如图,在四边形ABCD中,AC、BD相交于点E,且$AB = AC = AD$,经过A、C、D三点的$\odot O$交BD于点F,连接CF.
(1)求证:$CF = BF$;
(2)若$CD = CB$,求证:CB是$\odot O$的切线.

答案：

(1)
∵AB = AC,
∴∠ACB = ∠ABC.
∵AB = AD,
∴∠ADB = ∠ABD.又
∵∠ADB = ∠ACF,
∴∠ACF = ∠ABD.
∴∠ACB - ∠ACF = ∠ABC - ∠ABD,即∠BCF = ∠CBF.
∴CF = BF
(2)如图,连接CO并延长交⊙O于点G,连接GF.
∵CG为⊙O的直径,
∴∠GFC = 90°.
∴∠G + ∠GCF = 90°.
∵∠CDB = ∠G,
∴∠CDB + ∠GCF = 90°.
∵CD = CB,
∴∠CDB = ∠CBD.
∵CF = BF,
∴∠BCF = ∠CBD.
∴∠BCF + ∠GCF = 90°.
∴∠BCG = 90°,即CG⊥BC.又
∵CG为⊙O的直径,
∴CB是⊙O的切线