《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

6. (2024·乐山)已知二次函数$y = x^{2}-2x(-1\leqslant x\leqslant t - 1)$,当$x = - 1$时,函数取得最大值;当$x = 1$时,函数取得最小值,则$t$的取值范围是 (C)
A.$0\lt t\leqslant2$
B.$0\lt t\leqslant4$
C.$2\leqslant t\leqslant4$
D.$t\geqslant2$

答案： C 解析:
∵y=x²-2x=(x-1)²-1,
∴抛物线的对称轴为直线x=1,且顶点坐标为(1,-1).
∵1-(-1)=3-1,
∴当x=-1和x=3时的函数值相等.
∵-1≤x≤t-1,当x=-1时,函数取得最大值,
∴t-1≤3.又
∵当x=1时,函数取得最小值,
∴t-1≥1.
∴1≤t-1≤3,解得2≤t≤4.

7. 如图,抛物线$y = \frac{1}{2}(x - 6)^{2}-2与x轴交于点A$、$B$,把抛物线在$x轴及其下方的部分记作C_{1}$,将$C_{1}向左平移得到C_{2}$,$C_{2}与x轴交于点B$、$O$.若直线$y = \frac{1}{2}x + m与C_{1}$、$C_{2}共有3$个不同的交点,则$m$的取值范围是 (B)
A.$-3\leqslant m\lt - 2$
B.$-\frac{25}{8}\lt m\lt - 2$
C.$-5\leqslant m\lt - 2$
D.$-\frac{41}{8}\lt m\lt - 2$

答案： B 解析:
∵抛物线y=1/2(x-6)²-2=1/2(x-4)(x-8)与x轴交于点A、B,
∴B(4,0)、A(8,0).
∴抛物线向左平移4个单位长度.
∴平移后抛物线C₂对应的函数表达式为y=1/2(x-2)²-2.当直线y=1/2x+m过点B,有2个交点,
∴0=1/2×4+m,解得m=-2.当直线y=1/2x+m与抛物线C₂相切时,有2个交点,
∴1/2x+m=1/2(x-2)²-2.整理,得x²-5x-2m=0.
∴b²-4ac=25+8m=0.
∴m=-25/8.若直线y=1/2x+m与C₁、C₂共有3个不同的交点,则-25/8＜m＜-2.

8. (2024·连云港)已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c$($a$、$b$、$c$是常数,$a\lt0$)的顶点为$(1,2)$.小烨同学得出以下结论:① $abc\lt0$;② 当$x\gt1$时,$y随x$的增大而减小;③ 若$ax^{2}+bx + c = 0的一个根为x = 3$,则$a = -\frac{1}{2}$;④ 抛物线$y = ax^{2}+2是由抛物线y = ax^{2}+bx + c向左平移1$个单位长度,再向下平移$2$个单位长度得到的.其中,一定正确的是 ( B )
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④

答案： B 解析:
∵抛物线的顶点为(1,2).
∴-b/(2a)=1.
∴b=-2a.
∵a＜0,
∴b＞0.
∵a+b+c=2,
∴c=2-a-b=2-a-(-2a)=2+a.
∴c无法判断正负.故①错误;
∵a＜0,
∴抛物线开口向下.
∵抛物线对称轴为直线x=1,
∴当x＞1时,y随x的增大而减小.故②正确;
∵b=-2a,c=2+a,
∴y=ax²-2ax+2+a.
∵当x=3时,y=0,
∴0=9a-6a+2+a.
∴a=-1/2.故③正确;
∵y=ax²+bx+c=a(x-1)²+2,
∴将抛物线向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度得到y=a(x-1+1)²+2-2=ax².故④错误.

9. (2024·甘南)若二次函数$y = ax^{2}-bx - 1的图像经过点(2,1)$,则$2024 + 2a - b = $2025.

答案： 2025 解析:将(2,1)代入y=ax²-bx-1,得4a-2b-1=1.
∴2a-b=1.
∴2024+2a-b=2024+1=2025.

10. (2024·徐州)在平面直角坐标系中,将二次函数$y = (x - 2023)(x - 2024)+5的图像向下平移5$个单位长度,所得抛物线与$x轴有两个交点P$、$Q$,则$PQ = $1.

答案： 1 解析:将二次函数y=(x-2023)(x-2024)+5的图像向下平移5个单位长度,所得抛物线对应的函数表达式为y=(x-2023)(x-2024).令y=(x-2023)(x-2024)=0,则(x-2023)(x-2024)=0.
∴x-2023=0或x-2024=0,解得x=2023或x=2024.
∴PQ=2024-2023=1.

11. 已知点$(-1,y_{1})$、$(-4,y_{2})在二次函数y = x^{2}+4x - m$的图像上,则$y_{1}$、$y_{2}的大小关系是y_{1}$____$y_{2}$(填“$\gt$”“$\lt$”或“$=$”).

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的性质，特别是二次函数的对称轴以及单调性。
首先，对于二次函数$y = ax^{2} + bx + c$，其对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$。
对于给定的函数$y = x^{2} + 4x - m$，其中$a = 1$，$b = 4$，所以对称轴为$x = -\frac{4}{2 × 1} = -2$。
其次，由于$a = 1 \gt 0$，所以二次函数的开口方向是向上的，即在对称轴左侧，函数是单调递减的；在对称轴右侧，函数是单调递增的。
现在，考虑两个点$(-1, y_{1})$和$(-4, y_{2})$。
点$(-1, y_{1})$的横坐标$-1$距离对称轴$x = -2$的距离是$|-1 - (-2)| = 1$。
点$(-4, y_{2})$的横坐标$-4$距离对称轴$x = -2$的距离是$|-4 - (-2)| = 2$。
由于二次函数开口向上，距离对称轴越远，函数值越大。
因此，由于$-1$距离对称轴的距离小于$-4$距离对称轴的距离，所以$y_{1} \lt y_{2}$。
【答案】：
$y_{1} \lt y_{2}$

12. 新考法 新定义题(2024·眉山)定义运算:$a\otimes b = (a + 2b)(a - b)$,例如:$4\otimes3 = (4 + 2×3)\cdot(4 - 3)= 10$,则函数$y = (x + 1)\otimes2$的最小值为____-9.

答案： -9 解析:由题意得,y=(x+1)⊗2=(x+1+2×2)·(x+1-2)=(x+5)(x-1),即y=x²+4x-5=(x+2)²-9.
∴函数y=(x+1)⊗2的最小值为-9.

13. 不论$x$为何值,函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)的值恒大于0$的条件是b²-4ac＜0,且a＞0.

答案： b²-4ac＜0,且a＞0 解析:根据二次函数的图像与x轴交点性质得,当b²-4ac＜0,且a＞0时,不论x为何值,函数y=ax²+bx+c(a≠0)的值恒大于0.

14. 二次函数$y = 2x^{2}+bx + c的图像经过点(2,3)$,且顶点在直线$y = 3x - 2$上,则二次函数的表达式为y=2x²-4x+3或y=2x²-6x+7.

答案： y=2x²-4x+3或y=2x²-6x+7 解析:
∵二次函数y=2x²+bx+c图像的顶点为(-b/4,(8c-b²)/8),二次函数y=2x²+bx+c图像的顶点在直线y=3x-2上,并且图像经过点(2,3).
∴将(-b/4,(8c-b²)/8)代入直线y=3x-2,并把(2,3)代入y=2x²+bx+c,得{b²-6b-8c=16,8+2b+c=3,解得{b=-4,c=3,{b=-6,c=7.
∴二次函数的表达式为y=2x²-4x+3或y=2x²-6x+7.

15. (2024·苏州)二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)的图像过点A(0,m)$、$B(1,-m)$、$C(2,n)$、$D(3,-m)$,其中$m$、$n$为常数,则$\frac{m}{n}$的值为____-3/5.

答案： -3/5 解析:将A(0,m)、B(1,-m)、D(3,-m)代入y=ax²+bx+c(a≠0),得{c=m,a+b+c=-m,9a+3b+c=-m,
∴{a=2/3m,b=-8/3m,c=m.
∴y=2/3mx²-8/3mx+m.把C(2,n)代入y=2/3mx²-8/3mx+m,得n=2/3m×2²-8/3m×2+m.
∴n=-5/3m.
∴m/n=m/(-5/3m)=-3/5.

16. 如图,在平面直角坐标系中,点$A$、$B的坐标分别是A(2,2)$、$B(5,5)$,若二次函数$y = ax^{2}+bx + c的图像过A$、$B$两点,且该函数图像的顶点为$M(x,y)$,其中$x$、$y$是整数,且$0\lt x\lt7$,$0\lt y\lt7$,则$a$的最大值是____.


1

答案： 1 解析:
∵该函数图像的顶点为M(x,y),其中x、y是整数,且0＜x＜7,0＜y＜7,
∴y=1或2或5或6.根据抛物线의对称性,抛物线의顶点坐标只能是(3,1)或(2,2)或(4,6)或(5,5).当顶点坐标为(3,1)时,设抛物线对应的函数表达式为y=a(x-3)²+1,将(2,2)代入得,a(2-3)²+1=2,解得a=1;当顶点坐标为(2,2)时,设抛物线对应的函数表达式为y=a(x-2)²+2,将(5,5)代入得,a×(5-2)²+2=5,解得a=1/3;当顶点坐标为(4,6)时,设抛物线对应的函数表达式为y=a(x-4)²+6,将(2,2)代入得,a×(2-4)²+6=2,解得a=-1;当顶点坐标为(5,5)时,设抛物线对应的函数表达式为y=a(x-5)²+5,将(2,2)代入得,a(2-5)²+5=2,解得a=-1/3.综上,a的最大值是1.