《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

18. (6分)已知关于$x的方程2x^{2}+(m + 2)x + m = 0$。
(1)求证：不论$m$取何值,方程总有两个实数根；
(2)若方程有两个相等的实数根,请求出$m$的值并求此时方程的根。

答案：
(1)$\because b^{2}-4ac=(m+2)^{2}-4× 2× m=(m-2)^{2}$,且无论$m$取何值,$(m-2)^{2}\geqslant 0$,即$b^{2}-4ac\geqslant 0$,$\therefore$原方程总有两个实数根；
(2)$m=2$，$x_{1}=x_{2}=-1$

19. (6分)关于$x的一元二次方程x^{2}-3x + k = 0$有实数根。
(1)求$k$的取值范围；
(2)如果$k$是符合条件的最大整数,且关于$x的一元二次方程(m - 1)x^{2}+x + m - 3 = 0与方程x^{2}-3x + k = 0$有一个相同的根,求此时$m$的值。

答案：
(1)$k\leqslant \frac{9}{4}$；
(2)$m=\frac{3}{2}$

20. (8分)新情境 热点信息(2024·淄博)“我运动,我健康,我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高,某市参加健身运动的人数逐年增多,从2021年的32万人增加到2023年的50万人。
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率。
(2)为支持市民的健身运动,市政府决定从$A$公司购买某种套装健身器材。该公司规定：若购买不超过100套,则每套售价1600元；若超过100套,则每增加10套,售价每套可降低40元,但最低售价不得少于1000元。已知市政府向该公司支付货款24万元,求购买的这种健身器材的套数。

答案：
(1)25%；
(2)200套