《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

20. (8分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,点E在AC上,经过A、B、E三点的$\odot O$交BC于点D,且$\overset{\frown}{BD}= \overset{\frown}{DE}$.
(1) 求证:AB为$\odot O$的直径;
(2) 若$AB = 8$,$\angle BAC = 45^{\circ}$,求涂色部分的面积.

答案： （1）如图,连接AD.
∵$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DE}$,
∴$∠BAD=∠CAD$.又
∵$AB=AC$,
∴$AD⊥BC$.
∴$∠ADB=90^{\circ}$.
∴AB为⊙O的直径 （2）如图,连接OE.
∵AB为⊙O的直径,
∴点O在AB上.
∴易得$∠AOE=∠BOE=90^{\circ}$.
∵$AB=8$,
∴$OA=OB=OE=4$.
∴涂色部分的面积=$\frac{1}{2}×4×4+\frac{90×\pi×4^{2}}{360}=8+4\pi$

21. (10分)(2024·东台段考)如图,A、P、B、C是$\odot O$上的四个点,$\angle APC= \angle CPB = 60^{\circ}$,CP交AB于点E.
(1) 判断$\triangle ABC$的形状,并证明你的结论.
(2) ① 若P是$\overset{\frown}{AB}$的中点,求证:$PC = PA + PB$;
② 若点P在$\overset{\frown}{AB}$上移动,判断$PC = PA + PB$是否成立,并证明你的结论.

答案： （1）△ABC是等边三角形 由圆周角定理,得$∠ABC=∠APC=60^{\circ}$,$∠BAC=∠CPB=60^{\circ}$,
∴△ABC是等边三角形 （2）①
∵P是$\overset{\frown}{AB}$的中点,
∴$\overset{\frown}{PB}=\overset{\frown}{PA}$.
∴$PA=PB$.
∵$CA=CB$,
∴PC垂直平分线段AB.
∴PC是⊙O的直径.
∴$∠PAC=∠PBC=90^{\circ}$.
∵易得$∠PCA=∠PCB=30^{\circ}$,
∴$PC=2PA=2PB$.
∴$PA+PB=PC$ ②$PC=PA+PB$成立 如图,在PC上截取$PH=PA$,连接AH.
∵$∠APC=60^{\circ}$,
∴△APH为等边三角形.
∴$AP=AH$,$∠AHP=60^{\circ}$.
∴$∠AHC=120^{\circ}$.
∵$∠APC=∠CPB=60^{\circ}$,
∴$∠APB=120^{\circ}$.
∴$∠APB=∠AHC$.在△APB和△AHC中,$\begin{cases}∠ABP=∠ACH,\\∠APB=∠AHC,\\AP=AH,\end{cases}$
∴△APB≌△AHC.
∴$PB=HC$.
∴$PC=PH+HC=PA+PB$