《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

22. (8分)如图,在$Rt△ABC$中,$∠C = 90^{\circ},AC = 6cm,BC = 8cm$,点P从点B出发以每秒1cm的速度向点C运动,同时点Q从点C出发以相同的速度向点A运动,当其中一个点到达目的地时,另一个点也停止运动,设运动时间为t s.
(1) 出发多长时间后,$△CPQ$的面积为6cm^2?
(2) 出发多长时间后,点P、点Q之间的距离为$5\sqrt {2}cm$?

答案： （1）由题意,得CP=(8-t)cm,CQ=t cm,t的取值范围是0≤t≤6.依题意,得$\frac{1}{2}$(8-t)t=6,整理,得t²-8t+12=0,解得t₁=2,t₂=6,即出发2 s或6 s后,△CPQ的面积为6 cm² （2）
∵△CPQ是直角三角形,
∴CP²+CQ²=PQ²,即(8-t)²+t²=(5$\sqrt{2}$)²,解得t₁=1,t₂=7.
∵0≤t≤6,
∴t=1.
∴出发1 s后,点P、点Q之间的距离为5$\sqrt{2}$ cm

23. (8分)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程的知识,其实配方法还有其他重要应用.
例如:已知x可取任何实数,试求二次三项式$x^{2}+2x + 3$的最小值.
解:$x^{2}+2x + 3 = x^{2}+2x + 1 + 2 = (x + 1)^{2}+2$.
∵无论x取何实数,都有$(x + 1)^{2}≥0$,∴$(x + 1)^{2}+2≥2$,即$x^{2}+2x + 3$的最小值为2.
试利用配方法解决下列问题:
(1) 直接写出$x^{2}-6x + 12$的最小值: 3;
(2) 试比较代数式$3x^{2}-x + 2与2x^{2}+3x - 6$的大小;
∵3x²-x+2-(2x²+3x-6)=(x-2)²+4＞0,
∴3x²-x+2＞2x²+3x-6
(3) 如图,在四边形ABCD中,$AC⊥BD$,若$AC + BD = 10$,求四边形ABCD面积的最大值.

∵S四边形ABCD=$\frac{1}{2}$AC×BD=$\frac{1}{2}$AC×(10-AC)=-$\frac{1}{2}$AC²+5AC=-$\frac{1}{2}$(AC-5)²+$\frac{25}{2}$.
∴四边形ABCD面积的最大值为$\frac{25}{2}$

答案： （1）3 解析:x²-6x+12=(x-3)²+3.
∵无论x取何实数,都有(x-3)²≥0,
∴(x-3)²+3≥3,即x²-6x+12的最小值为3.（2）
∵3x²-x+2-(2x²+3x-6)=(x-2)²+4＞0,
∴3x²-x+2＞2x²+3x-6 （3）
∵S四边形ABCD=$\frac{1}{2}$AC×BD=$\frac{1}{2}$AC×(10-AC)=-$\frac{1}{2}$AC²+5AC=-$\frac{1}{2}$(AC-5)²+$\frac{25}{2}$.
∴四边形ABCD面积的最大值为$\frac{25}{2}$