《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

20. (8分)(2024·南充)已知$x_{1}$、$x_{2}$是关于x的方程$x^{2}-2kx + k^{2}-k + 1 = 0$的两个不相等的实数根.
(1) 求k的取值范围;
(2) 若$k＜5$,且k、$x_{1}$、$x_{2}$都是整数,求k的值.

答案： （1）
∵原方程有两个不相等的实数根,
∴b²-4ac=(-2k)²-4×1×(k²-k+1)=4k²-4k²+4k-4=4k-4＞0,解得k＞1 （2）
∵1＜k＜5,
∴整数k的值为2、3、4.当k=2时,方程为x²-4x+3=0,解得x₁=1,x₂=3;当k=3或4时,此时方程的根不为整数.综上所述,k的值为2

21. (8分)(2024·遂宁)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0$.
(1) 求证:无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2) 如果方程的两个实数根为$x_{1}$、$x_{2}$,且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}= 9$,求m的值.

答案： （1）由题意,得b²-4ac=[-(m+2)]²-4×1×(m-1)=m²+4m+4-4m+4=m²+8.
∵m²≥0,
∴b²-4ac＞0.
∴无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根 （2）
∵方程x²-(m+2)x+m-1=0的两个实数根为x₁、x₂,
∴x₁+x₂=m+2,x₁x₂=m-1.
∵x₁²+x₂²-x₁x₂=9,即(x₁+x₂)²-3x₁x₂=9,
∴(m+2)²-3(m-1)=9,整理,得m²+m-2=0,解得m₁=-2,m₂=1.
∴m的值为-2或1