《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

17. (8分)(2024·广州)如图,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,$BE= 3$,$EC= 6$,$CF= 2$.求证:$\triangle ABE\backsim \triangle ECF$.

答案： $\because BE=3$，$EC=6$，$CF=2$，$\therefore BC=3+6=9$。$\because$四边形ABCD是正方形，$\therefore AB=BC=9$，$\angle B=\angle C=90^{\circ}$。$\because \frac{AB}{CE}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$，$\frac{BE}{CF}=\frac{3}{2}$，$\therefore \frac{AB}{CE}=\frac{BE}{CF}$。$\therefore \triangle ABE\backsim\triangle ECF$

18. (8分)(2024·盐城亭湖二模)如图,在$6× 6$的正方形网格图中,每个小正方形的边长都为1,$\triangle ABC$的顶点都在格点上,在该网格图中只用无刻度的直尺作图.
(1) 在线段AC上画出点D,使$\triangle ABD\backsim \triangle ACB$;
(2) 画出$\triangle ABC$的外接圆圆心O,并连接OB、OC,求弧BC的长(结果保留$\pi$).

答案： （1）如图，点D即为所求 解析:由题可知，每个小正方形的边长为1，$\therefore AB=2\sqrt{2}$，$AC=4$，$BC=2\sqrt{10}$。要使$\triangle ABD\backsim\triangle ACB$，则$\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AC}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。$\therefore AD=AB\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=2$，$BD=BC\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{10}×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{5}$。$\therefore$在AC上找到点D使$AD=2$，此时$\triangle ABD\backsim\triangle ACB$。
（2）如图，点O即为所求。$\because OB=OC=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{2^{2}+6^{2}}=2\sqrt{10}$，$\therefore OB^{2}+OC^{2}=BC^{2}$。$\therefore \angle BOC=90^{\circ}$。$\therefore \overset{\frown}{BC}$的长$=\frac{90\pi×2\sqrt{5}}{180}=\sqrt{5}\pi$