《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

1. (2024·西安雁塔模拟)如图,四边形ACBD是$\odot O$的内接四边形,且$BC= BD$,连接AB、OC.若$∠BAD= 28^{\circ }$,则$∠OCB$的度数是 (C)

A.$34^{\circ }$
B.$56^{\circ }$
C.$62^{\circ }$
D.$72^{\circ }$

答案： C 解析:如图,连接 OB.
∵ BC=BD,
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$.
∴ ∠BAC=∠BAD=28°.由圆周角定理得,∠BOC=2∠BAC=56°.
∵ OB=OC,
∴ ∠OCB=∠OBC=$\frac{1}{2}$×(180°-56°)=62°.

2. (2024·牡丹江)如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,AB是$\odot O$的直径,若$∠BEC= 20^{\circ }$,则$∠ADC$的度数为 (B)
A.$100^{\circ }$
B.$110^{\circ }$
C.$120^{\circ }$
D.$130^{\circ }$

答案： B 解析:如图,连接 AC.
∵ AB 是⊙O 的直径,
∴ ∠ACB=90°.
∵ ∠BEC=20°,
∴ ∠CAB=∠BEC=20°.
∴ ∠ABC=90°-∠BAC=70°.
∵ 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,
∴ ∠ADC=180°-∠ABC=110°.

3. 如图,$\odot O$的半径为5 cm,弦AB的长为8 cm,P是AB的延长线上一点,$BP= 2cm$,则OP的长为 (D)
A.$2\sqrt {2}cm$
B.$3\sqrt {2}cm$
C.$2\sqrt {5}cm$
D.$3\sqrt {5}cm$

答案： D 解析:如图,过点 O 作 OC⊥AB 于点 C,连接 OB,则∠OCP=∠ACO=90°.
∵ OC⊥AB,OA=OB,
∴ 易得AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4(cm).
∵ BP=2 cm,
∴ PC=BC+BP=6 cm.在Rt△ACO中,由勾股定理,得 OC=$\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}$=3(cm).在Rt△PCO中,由勾股定理,得 OP=$\sqrt{PC^2+OC^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$(cm).

4. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ },BC= 3,AC= 4$,D、E分别是AC、BC上的一点,且$DE= 3$,若以DE为直径的圆与斜边AB相交于点M、N,则MN的最大值为 (D)
A.$\frac {9}{10}$
B.$\frac {6}{5}$
C.$\frac {8}{5}$
D.$\frac {12}{5}$

答案： D 解析:如图,过点 O 作 OG⊥AB 于点 G,连接 OC、OM.
∵ DE=3,∠ACB=90°,OD=OE,
∴ OC=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{3}{2}$.当 C、O、G 三点在同一条直线上时,OG 最小.
∵ OM=$\frac{3}{2}$,
∴ 只有 OG 最小时,GM 才能最大,从而 MN 有最大值.过点 C 作 CF⊥AB 于点 F,
∴ 当点 G 和点 F 重合时,MN 有最大值.
∵ ∠ACB=90°,BC=3,AC=4,
∴ AB=$\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}$=5.
∵ $\frac{1}{2}$AC·BC=$\frac{1}{2}$AB·CF,
∴ CF=$\frac{AC×BC}{AB}=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$.
∴ OG=CF-OC=$\frac{12}{5}-\frac{3}{2}=\frac{9}{10}$.
∴ MG=$\sqrt{OM^2-OG^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2-(\frac{9}{10})^2}=\frac{6}{5}$.
∴ MN=2MG=$\frac{12}{5}$.

5. (2024·宿迁沭阳段考)如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,BC是$\odot O$的直径,$BC= 2AB$,则$∠ADC$的度数为____120$^{\circ }$.

答案： 120 解析:如图,连接 OA.
∵ BC 是⊙O 的直径,BC=2AB,
∴ OA=OB=AB.
∴ △AOB 为等边三角形.
∴ ∠B=60°.
∵ 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,
∴ ∠B+∠ADC=180°.
∴ ∠ADC=180°-60°=120°.

6. (2024·琼海三模)如图,AB、CD是$\odot O$的弦,且$AB= CD$,若$∠BOD= 84^{\circ }$,则$∠ACO$的度数为48°.

答案： 48° 解析:如图,连接 OA.
∵ AB=CD,
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$.
∴ $\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{AD}$.
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.
∴ ∠AOC=∠BOD=84°.
∵ OA=OC,
∴ ∠ACO=∠CAO=$\frac{1}{2}$(180°-∠AOC)=$\frac{1}{2}$×(180°-84°)=48°.

7. (2024·中山二模)如图,AB是$\odot O$的直径,若$∠BAC= 36^{\circ }$,则$∠ADC$的度数为54°.

答案： 54° 解析:如图,连接 BC.
∵ AB 是⊙O 的直径,
∴ ∠ACB=90°.
∴ ∠ABC=90°-∠CAB=54°.
∴ ∠ADC=∠ABC=54°.

8. 如图,AB是$\odot O$的直径,过AB的延长线上的点C作$\odot O$的切线,切点为P,D是$\odot O$上一点,连接BD、DP,若$∠BDP= α$,则$∠C$的度数是____90°-2α.

答案： 90°-2α 解析:如图,连接 OP.
∵ PC 为⊙O 的切线,
∴ OP⊥PC.
∴ ∠OPC=90°.
∵ ∠POB=2∠PDB=2α,
∴ ∠C=90°-2α.