《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

9. 已知$\frac{a}{b}= \frac{1}{3}$,则$\frac{a+b}{b}= $$\frac{4}{3}$.

答案： $\frac{4}{3}$ 解析:
∵$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{3}$,
∴b=3a.
∴$\frac{a+b}{b}$=$\frac{a+3a}{3a}$=$\frac{4}{3}$.

10. 甲、乙两人在相同条件下均进行10次射击.若甲射击成绩的平均数是8环,方差是1环$^{2}$;乙射击成绩的平均数是8环,方差是1.2环$^{2}$,则甲的成绩比较稳定(填“甲”或“乙”).

答案： 甲 解析:由题意知,甲射击成绩的方差小于乙射击成绩的方差,
∴甲的射击成绩比较稳定.

11. 如图,一个游戏转盘有红色、黄色、蓝色三个部分,若红色部分扇形的圆心角度数为$210^{\circ}$,黄色部分扇形的圆心角度数为$90^{\circ}$.转动转盘,停止后指针落在蓝色部分扇形的概率是$\frac{1}{6}$.

答案： $\frac{1}{6}$ 解析:蓝色部分扇形的圆心角的度数为360°−210°−90°=60°,
∴转动转盘,停止后指针落在蓝色部分扇形的概率是$\frac{60}{360}$=$\frac{1}{6}$.

12. 圆锥的底面半径是4,母线长是6,则这个圆锥的侧面积为24π(结果保留$\pi$).

答案： 24π 解析:
∵圆锥的底面半径是4,
∴圆锥底面圆的周长为8π,即侧面展开扇形的弧长为8π.又
∵母线长为6,
∴圆锥的侧面积为$\frac{1}{2}$×8π×6=24π.

13. 已知点$B在线段AC上(AB＞BC)$,且$\frac{BC}{AB}= \frac{AB}{AC}$.若$AC= 1$,则$AB$的长为$\frac{\sqrt{5}−1}{2}$.

答案： $\frac{\sqrt{5}−1}{2}$ 解析:
∵$\frac{BC}{AB}$=$\frac{AB}{AC}$,AC=1,
∴AB²=1×(1−AB).
∴AB²+AB−1=0,解得AB=$\frac{\sqrt{5}−1}{2}$或$\frac{−\sqrt{5}−1}{2}$(舍去).
∴AB的长为$\frac{\sqrt{5}−1}{2}$.

14. 如图①所示为苏州园林中的拱门,可抽象为如图②所示的图形.已知$AB$的长度为1m,拱门的最高点$C到直线AB$的距离为2.5m,则拱门所在圆的半径为____1.3m.

答案： 1.3 解析:如图,连接OA.设OA=OC=r m.
∵CD⊥AB,AB=1 m,
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$m.
∵CD=2.5 m,
∴OD=CD−OC=(2.5−r)m.在Rt△ADO中,由勾股定理,得AD²+OD²=OA²,
∴($\frac{1}{2}$)²+(2.5−r)²=r²,
∴r=1.3.
∴拱门所在圆的半径为1.3 m.

15. 对于一个函数,当自变量$x取n$时,其函数值$y等于3n$,我们称$n$为这个函数的“三倍数”.若二次函数$y= x^{2}+7x+2c$有且只有一个“三倍数”,则$c$的值为2.

答案： 2 解析:设二次函数y=x²+7x+2c的“三倍数”为m.由题意,得3m=m²+7m+2c.整理,得m²+4m+2c=0.
∵二次函数y=x²+7x+2c有且只有一个“三倍数”,
∴b²−4ac=4²−4×1×2c=0,解得c=2.

16. 如图,在$\triangle ABF$中,$C$、$E分别是边BF$、$AF$上的点,连接$AC$、$BE$,交点为$D$.若$AB= AC= AE= 12$,$AD= 9$,$\angle BAC= 60^{\circ}$,则线段$EF$的长为____7.5.

答案： 7.5 解析:如图，过点A作AM⊥BC于点M,AN⊥BE于点N,过点D作DP⊥BC于点P,过点E作EQ⊥BF于点Q.
∵AB=AC,∠BAC=60°,
∴△ABC是等边三角形.
∴AB=BC=AC=12,∠ACB=60°.
∴BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=6.
∴AM=$\sqrt{AB²−BM²}$=$\sqrt{12²−6²}$=6$\sqrt{3}$.在Rt△DCP中,CD=CA−AD=12−9=3,∠DCP=60°,
∴∠CDP=30°.
∴CP=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{3}{2}$.
∴DP=$\sqrt{3²−(\frac{3}{2})²}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$.在Rt△BPD中,BP=BC−CP=12−$\frac{3}{2}$=$\frac{21}{2}$,
∴BD=$\sqrt{BP²+DP²}$=$\sqrt{(\frac{21}{2})²+(\frac{3\sqrt{3}}{2})²}$=3$\sqrt{13}$.在△ABE中,AB=AE,
∴BN=EN=$\frac{1}{2}$BE.在Rt△ABN中,设BN=x,则AN²=AB²−BN²=12²−x².在Rt△ADN中,DN=BD−BN=3$\sqrt{13}$−x,
∴AN²=AD²−DN²=9²−(3$\sqrt{13}$−x)².
∴12²−x²=9²−(3$\sqrt{13}$−x)²,解得x=$\frac{30\sqrt{13}}{13}$.
∴BN=EN=$\frac{30\sqrt{13}}{13}$.
∴BE=$\frac{60\sqrt{13}}{13}$.在△BDP和△BEQ中,
∵∠DBP=∠EBQ,∠BPD=∠BQE,
∴△BDP∽△BEQ.
∴$\frac{EQ}{DP}$=$\frac{EB}{DB}$,即$\frac{EQ}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\frac{60\sqrt{13}}{13}}{3\sqrt{13}}$,
∴EQ=$\frac{30\sqrt{3}}{13}$.在△FEQ和△FAM中,
∵∠EFQ=∠AFM,∠EQF=∠AMF,
∴△FEQ∽△FAM.
∴$\frac{FE}{FA}$=$\frac{EQ}{AM}$.
∴EF·AM=AF·EQ,即EF×6$\sqrt{3}$=(AE+EF)×$\frac{30\sqrt{3}}{13}$.
∴EF=(12+EF)×$\frac{5}{13}$,
∴EF=7.5.

17. (5分)计算:$\tan 45^{\circ}-\sin 30^{\circ}-\cos 60^{\circ}$.

答案： 原式=1−$\frac{1}{2}$−$\frac{1}{2}$=0

18. (5分)解方程:$x^{2}-2x-8= 0$.

答案： (x−4)(x+2)=0,x−4=0或x+2=0,
∴x₁=4,x₂=−2