《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

11. (20分)(2024·无锡)【操作观察】如图,在四边形纸片ABCD中,AD//BC,∠ABC= 90°,BC= 8,AB= 12,AD= 13.折叠四边形纸片ABCD,使得点C的对应点C'始终落在AD上,点B的对应点为B',折痕与AB、CD分别交于点M、N.
【解决问题】(1) 当点C'与点A重合时,求B'M的长;
(2) 设直线B'C'与直线AB相交于点F,当∠AFC'= ∠ADC时,求AC'的长.

答案：
(1)如图①，过点C作CH⊥AD，则易得CH = AB = 12，AH = BC = 8。
∴HD = AD - AH = 13 - 8 = 5。
∴CD = $\sqrt{CH² + HD²}$ = $\sqrt{12² + 5²}$ = 13。
∴tan∠ADC = $\frac{CH}{HD}$ = $\frac{12}{5}$。当点C'与点A重合时，由折叠的性质，可得出MN垂直平分AC，点N与点D重合，则有AM = MC。设B'M = MB = x，则AM = MC = 12 - x。
∵∠ABC = 90°，
∴在Rt△MBC中，x² + 8² = (12 - x)²，解得x = $\frac{10}{3}$。
∴B'M = MB = $\frac{10}{3}$。
(2)如图②，当点F在AB上时，由
(1)可知tan∠ADC = $\frac{CH}{HD}$ = $\frac{12}{5}$。
∵∠AFC' = ∠ADC，
∴tan∠AFC' = $\frac{12}{5}$。设AF = 5x，AC' = 12x，则C'F = 13x。根据折叠的性质可得，B'C' = BC = 8，B'F = 8 - 13x。
∵∠B'FM = ∠AFC'，
∴tan∠B'FM = tan∠AFC' = $\frac{12}{5}$。
∵∠ABC = 90°，
∴在Rt△B'FM中，FM = $\frac{13}{5}$(8 - 13x)，B'M = MB = $\frac{12}{5}$(8 - 13x)。
∴5x + $\frac{12}{5}$(8 - 13x) + $\frac{13}{5}$(8 - 13x) = 12，解得x = $\frac{7}{15}$。
∴AC' = 12x = $\frac{28}{5}$。如图③，当点F在BA的延长线上时，同理，得tan∠AFC' = $\frac{12}{5}$。在Rt△AFC'中，设AF = 5x，AC' = 12x，
∴FC' = 13x，FB' = 13x - 8。在Rt△MFB'中，FM = $\frac{13}{5}$(13x - 8)，B'M = MB = $\frac{12}{5}$(13x - 8)。
∴FB = 5x + 12 = $\frac{12}{5}$(13x - 8) + $\frac{13}{5}$(13x - 8)，解得x = $\frac{13}{15}$。
∴AC' = 12x = $\frac{52}{5}$。综上，AC'的值为$\frac{28}{5}$或$\frac{52}{5}$。

12. (20分)(2024·苏州)如图①,二次函数$y= x^2+bx+c$的图像$C_1$与开口向下的二次函数图像$C_2$均过点A(-1,0)、B(3,0).
(1) 求图像$C_1$对应的函数表达式.
(2) 若图像$C_2$过点C(0,6),点P位于第一象限,且在图像$C_2$上,直线l过点P且与x轴平行,与图像$C_2$的另一个交点为Q(点Q在点P左侧),直线l与图像$C_1$的交点为M、N(点N在点M左侧).当PQ= MP+QN时,求点P的坐标.
(3) 如图②,D、E分别为二次函数图像$C_1、$$C_2$的顶点,连接AD,过点A作AF⊥AD,交图像$C_2$于点F,连接EF,当EF//AD时,求图像$C_2$对应的函数表达式.

答案：
(1)将A(-1,0)、B(3,0)代入y = x² + bx + c，得$\begin{cases}1 - b + c = 0 \\ 9 + 3b + c = 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}b = - 2 \\ c = - 3 \end{cases}$。
∴图像C₁对应的函数表达式为y = x² - 2x - 3。
(2)设图像C₂对应的函数表达式为y = a(x + 1)(x - 3)(a＜0)。将C(0,6)代入，得a = - 2。
∴图像C₂对应的函数表达式为y = - 2(x + 1)(x - 3)，其对称轴为直线x = 1。图像C₁的对称轴也为直线x = 1。作直线x = 1，交直线l于点H(如图①)。由二次函数图像的对称性得，QH = PH，PM = NQ。又
∵PQ = MP + QN，
∴PH = PM。设PH = t(0＜t＜2)，则点P的横坐标为t + 1，点M的横坐标为2t + 1。将x = t + 1代入y = - 2(x + 1)(x - 3)，得yP = - 2(t + 2)(t - 2)；将x = 2t + 1代入y = (x + 1)(x - 3)，得yM = (2t + 2)(2t - 2)。
∵yP = yM，
∴ - 2(t + 2)(t - 2) = (2t + 2)(2t - 2)，即6t² = 12，解得t₁ = $\sqrt{2}$，t₂ = - $\sqrt{2}$(舍去)。
∴点P的坐标为($\sqrt{2}$ + 1，4)。
(3)连接DE，交x轴于点G，过点F作FI⊥ED于点I，过点F作FJ⊥x轴于点J(如图②)。
∵FI⊥ED，FJ⊥x轴，
∴易得四边形IGJF为矩形。
∴IF = GJ，IG = FJ。设图像C₂对应的函数表达式为y = a(x + 1)(x - 3)(a＜0)。
∵D、E分别为二次函数图像C₁、C₂的顶点，
∴D(1,-4)，E(1,-4a)。
∴DG = 4，AG = 2，EG = -4a。在Rt△AGD中，tan∠ADG = $\frac{AG}{DG}$ = $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$。
∵AF⊥AD，
∴∠FAB + ∠DAB = 90°。又
∵∠DAG + ∠ADG = 90°，
∴∠ADG = ∠FAB。
∴tan∠FAB = tan∠ADG = $\frac{FJ}{AJ}$ = $\frac{1}{2}$。设GJ = m(0＜m＜2)，则AJ = 2 + m。
∴FJ = $\frac{2 + m}{2}$，F(m + 1，$\frac{2 + m}{2}$)。
∵EF//AD
∴∠FEI = ∠ADG。
∴tan∠FEI = tan∠ADG = $\frac{FI}{EI}$ = $\frac{1}{2}$。
∴EI = 2m。
∵EG = EI + IG，
∴2m + $\frac{2 + m}{2}$ = -4a。
∴a = -$\frac{2 + 5m}{8}$①。
∵点F在图像C₂上，
∴a(m + 1 + 1)(m + 1 - 3) = $\frac{m + 2}{2}$，即a(m + 2)(m - 2) = $\frac{m + 2}{2}$。
∵m + 2≠0，
∴a(m - 2) = $\frac{1}{2}$②。由①②，可得 -$\frac{2 + 5m}{8}$(m - 2) = $\frac{1}{2}$，解得m₁ = 0(舍去)，m₂ = $\frac{8}{5}$。
∴a = -$\frac{5}{4}$。
∴图像C₂对应的函数表达式为y = -$\frac{5}{4}$(x + 1)(x - 3) = -$\frac{5}{4}$x² + $\frac{5}{2}$x + $\frac{15}{4}$。