《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

22. (10分)新考法 过程性学习(2024·盐城)请根据以下素材,完成探究任务.
| 生产背景 | 背景1 | ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装,有“风”“雅”“正”三种样式.
◆因工艺需要,每名工人每天可加工且只能加工“风”服装2件,或“雅”服装1件,或“正”服装1件.
◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件,“正”服装总件数和“风”服装总件数相等. |
| | 背景2 | 每天加工的服装都能销售出去,扣除各种成本,服装厂的获利情况如下:
①“风”服装:24元/件;
②“正”服装:48元/件;
③“雅”服装:当每天加工10件时,每件获利100元.如果每天多加工1件,那么平均每件获利将减少2元. |
| 信息整理 | | 现安排x名工人加工“雅”服装,y名工人加工“风”服装,列表如下:
| 服装种类 | 加工人数 | 每人每天加工量/件 | 平均每件获利/元 |
| 风 | y | 2 | 24 |
| 雅 | x | 1 | |
| 正 | | 1 | 48 | |
| 探究任务 | 任务1 | 探寻变量关系 | 求x、y之间的数量关系. |
| | 任务2 | 建立数学模型 | 设该厂每天的总利润为w元,求w关于x的函数表达式. |
| | 任务3 | 拟定加工方案 | 制定使每天总利润最大的加工方案. |

答案： 任务1:
∵安排x名工人加工“雅”服装,y名工人加工“风”服装,
∴加工"正"服装的有(70 - x - y)人.
∵“正”服装总件数和“风”服装总件数相等,
∴(70 - x - y)×1=2y.整理,得y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{70}{3}$
任务2:根据题意,得“雅”服装每天获利为x[100 - 2(x - 10)]元.
∴w=2y×24+(70 - x - y)×48+x[100 - 2(x - 10)].整理,得w=(-16x+1120)+(-32x+2240)+(-2x²+120x).
∴w=-2x²+72x+3360(x ＞ 10)
任务3:由任务2,得w=-2x²+72x+3360=-2(x - 18)²+4008.
∴当x=18时,获得最大总利润,此时y=-$\frac{1}{3}$×18+$\frac{70}{3}$=$\frac{52}{3}$.
∵y是整数,
∴x≠18.
∵图像开口向下,
∴x=17或x=19.当x=17时,y=$\frac{53}{3}$,不符合题意;当x=19时,y=$\frac{51}{3}$=17,符合题意.
∴70 - x - y=34.综上,安排19名工人加工“雅”服装,17名工人加工“风”服装,34名工人加工“正”服装,即可获得最大总利润

23. (10分)(2024·南京)已知二次函数$ y = a x ^ { 2 } + b x + c 的图像经过点 ( 1, 2 ) $,它的顶点$ ( m, n ) 在函数 y = x ^ { 2 } $的图像上.
(1)当n取最小值时,$ a = $____;
(2)用含m的代数式表示a;
(3)已知点$ A ( - 2, y _ { 1 } ) $、$ B ( - 1, y _ { 2 } ) $、$ C ( 2, y _ { 3 } ) 都在函数 y = a x ^ { 2 } + b x + c $的图像上,当$ y _ { 2 } ＜ y _ { 1 } ＜ y _ { 3 } $时,结合函数的图像,求出m的取值范围.

答案：

(1)2 解析:
∵二次函数图像的顶点(m,n)在函数y=x²的图像上,
∴n=m².设二次函数的表达式为y=a(x - m)²+m².当n取最小值时,m=0,且二次函数图像经过点(1,2),
∴a=2.
(2)
∵图像经过点(1,2),
∴2=a(1 - m)²+m².化简得,a=$\frac{2 - m²}{m² - 2m + 1}$(m≠1且m≠±$\sqrt{2}$)
(3)①当图像开口向上时,如图①所示,
∴2 - m²＞0.
∴-$\sqrt{2}$＜m＜$\sqrt{2}$.
∵y₂ ＜ y₁ ＜ y₃,
∴|1 - m|＜m - (-2)＜2 - m,解得-$\frac{3}{2}$＜m＜0.
∵-$\sqrt{2}$＜m＜$\sqrt{2}$,
∴-$\sqrt{2}$＜m＜0;
②当图像开口向下时,
∴m＞$\sqrt{2}$或m＜-$\sqrt{2}$.当m＞$\sqrt{2}$时,如图②所示,此时y₁ ＜ y₂,不合题意;当m＜-$\sqrt{2}$时,如图③所示,此时y₃ ＜ y₂,不合题意.综上所述,-$\sqrt{2}$＜m＜0