《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

27. (10分)借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光.已知$ \angle A = 45 ^ { \circ } $,点$ D $、$ E 在 A C $上,$ D E = 10 $,点$ P 在 A B $上,连接$ P D $、$ P E $,作$ \triangle P D E 的外接圆 \odot O $.
(1)当$ A D = 6 $时.
①如图①,若$ P E 是 \odot O $的直径,则$ \odot O $的半径为$\sqrt{34}$;
②如图②,若$ A P = 12 \sqrt { 2 } $,求$ \odot O $的半径.
如图①,过点O、P分别作AC的垂线,垂足分别为G、F,过点O作$OH\perp PF$,垂足为H,连接OP、OD.
∵$PF\perp AF$,$AP = 12\sqrt{2}$,$\angle BAC = 45^{\circ}$,
∴$PF = AF = 12$.
∴$DF = AF - AD = 6$.
∴$EF = DE - DF = 4$.
∵$OG\perp DE$,
∴$DG = EG = 5$.
∵$\angle OGF=\angle GFH=\angle OHF = 90^{\circ}$,
∴四边形OGFH为矩形.
∴$OH = GF = DF - DG = 1$,$HF = OG$.设$HF = OG = x$,则$PH = 12 - x$.在$Rt\triangle ODG$和$Rt\triangle OHP$中,由勾股定理,得$OD^{2}=OG^{2}+DG^{2}$,$OP^{2}=OH^{2}+PH^{2}$.
∴$OG^{2}+DG^{2}=OH^{2}+PH^{2}$,即$x^{2}+5^{2}=1^{2}+(12 - x)^{2}$,解得$x = 5$.
∴$OD=\sqrt{OG^{2}+DG^{2}}=5\sqrt{2}$,即$\odot O$的半径为$5\sqrt{2}$
(2)当$ A D = 10 $时,如图③,若$ \odot O 与 A B 相切于点 P $,用直尺和圆规作出点$ P $的位置(要求:不写作法,保留作图痕迹).
如图②所示
(3)设$ A D = m $,对于每一个$ m $的值,$ \odot O 的半径随着点 P $的位置的变化而变化,直接写出$ \odot O 的半径的最小值及对应的 m $的取值范围(可用含$ m $的式子表示).
当$0＜m\leq 5\sqrt{2}-5$时,$r = 5$;当$m＞5\sqrt{2}-5$时,$r = m\sqrt{2}+5\sqrt{2}-\sqrt{m^{2}+10m}$

答案：
(1)①$\sqrt{34}$; ② 如图①,过点O、P分别作AC的垂线,垂足分别为G、F,过点O作$OH\perp PF$,垂足为H,连接OP、OD.
∵$PF\perp AF$,$AP = 12\sqrt{2}$,$\angle BAC = 45^{\circ}$,
∴$PF = AF = 12$.
∴$DF = AF - AD = 6$.
∴$EF = DE - DF = 4$.
∵$OG\perp DE$,
∴$DG = EG = 5$.
∵$\angle OGF=\angle GFH=\angle OHF = 90^{\circ}$,
∴四边形OGFH为矩形.
∴$OH = GF = DF - DG = 1$,$HF = OG$.设$HF = OG = x$,则$PH = 12 - x$.在$Rt\triangle ODG$和$Rt\triangle OHP$中,由勾股定理,得$OD^{2}=OG^{2}+DG^{2}$,$OP^{2}=OH^{2}+PH^{2}$.
∴$OG^{2}+DG^{2}=OH^{2}+PH^{2}$,即$x^{2}+5^{2}=1^{2}+(12 - x)^{2}$,解得$x = 5$.
∴$OD=\sqrt{OG^{2}+DG^{2}}=5\sqrt{2}$,即$\odot O$的半径为$5\sqrt{2}$;
(2)如图②所示;
(3)当$0＜m\leq 5\sqrt{2}-5$时,$r = 5$;当$m＞5\sqrt{2}-5$时,$r = m\sqrt{2}+5\sqrt{2}-\sqrt{m^{2}+10m}$