《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

24. (10分)(2024·广元)数学实验不仅能增加学习数学的乐趣,还能经历知识"再创造"的过程,更是培养动手能力、创新能力的一种手段.小强在学习《相似》一章中对"直角三角形斜边上作高"这一基本图形(如图①)产生了如下问题,请同学们帮他解决.
在$\triangle ABC$中,D为边AB上一点,连接CD.
(1) 初步探究:如图②,若$\angle ACD= \angle B$,求证:$AC^{2}= AD \cdot AB$;
(2) 尝试应用:如图③,在(1)的条件下,若D为AB的中点,$BC= 4$,求CD的长;
(3) 创新提升:如图④,E为CD的中点,连接BE,若$\angle CDB= \angle CBD= 30^{\circ},\angle ACD= \angle EBD,AC= 2\sqrt{7}$,求BE的长.

答案：

(1)
∵∠A = ∠A,∠ACD = ∠B,
∴△ACD∽△ABC.
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$.
∴$AC^2 = AD\cdot AB$.
(2)设AD = m.
∵D为AB的中点,
∴AD = BD = m,AB = 2m.由
(1),得△ACD∽△ABC.
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$.
∵$AC^2 = AD\cdot AB = m×2m = 2m^2$,
∴$AC=\sqrt{2}m$或$AC = -\sqrt{2}m$(不符合题意，舍去).
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{2}m}{2m}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∵BC = 4,
∴$CD=\frac{\sqrt{2}}{2}BC=\frac{\sqrt{2}}{2}×4 = 2\sqrt{2}$.
∴CD的长是$2\sqrt{2}$.
(3)如图,取BD的中点M,连接CM、EM.
∵E为CD的中点,
∴EM是△BCD的中位线.
∴EM//CB.
∴∠EMD = ∠CBD = 30°.
∵∠CDB = ∠CBD = 30°,
∴CD = CB.
∴CM⊥BD,∠ADC = ∠BME = 180° - 30° = 150°.
∵∠ACD = ∠EBD,即∠ACD = ∠EBM,
∴△ACD∽△EBM.
∵∠CMB = 90°,∠CBM = 30°,AC = $2\sqrt{7}$,
∴CD = CB = 2CM.设CM = x,则CD = CB = 2x.
∴$BM=\sqrt{CB^2 - CM^2}=\sqrt{(2x)^2 - x^2}=\sqrt{3}x$.
∴$\frac{AC}{BE}=\frac{CD}{BM}=\frac{2x}{\sqrt{3}x}=\frac{2}{\sqrt{3}}$.
∴$BE=\frac{\sqrt{3}}{2}AC=\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{7}=\sqrt{21}$.
∴BE的长是$\sqrt{21}$.