《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

20. (8分)如图,在平面直角坐标系中,$\triangle OAB的顶点坐标分别为O(0,0)$、$A(-2,-3)$、$B(2,-1)$.
(1) 以原点O为位似中心,在x轴的下方画出$\triangle OA_{1}B_{1}$,使$\triangle OA_{1}B_{1}与\triangle OAB$位似,且相似比为2:1,其中点A、B的对应点分别为$A_{1}$、$B_{1}$;
(2) 写出点$A_{1}$的坐标:____.

答案：

(1)如图,△OA₁B₁即为所求.
(2)(-4,-6) 解析:由
(1),知点A₁的坐标为(-4,-6).

21. (10分)如图,在$\triangle ABC$中,点D、E分别在AB、AC上,$DE // BC$,点F在边AB上,$BC^{2}= BF \cdot BA$,CF与DE相交于点G.
(1) 求证:$\triangle ABC \backsim \triangle GDF$;
(2) 若E为AC的中点,求证:$\frac{2EG}{DG}= \frac{AF}{DF}$.

答案：

(1)
∵$BC^2 = BF\cdot BA$,
∴BC:BF = BA:BC.
∵∠ABC = ∠CBF,
∴△BAC∽△BCF.
∴∠BAC = ∠BCF.
∵DE//BC,
∴∠ABC = ∠ADG,∠DGF = ∠BCF.
∴∠BAC = ∠DGF.
∴△ABC∽△GDF.
(2)作AH//BC交CF的延长线于点H,如图所示.
∵DE//BC,
∴AH//DE.
∴∠CEG = ∠CAH,∠CGE = ∠CHA.
∴△CEG∽△CAH.
∴$\frac{CE}{CA}=\frac{EG}{AH}$.
∵E为AC的中点,
∴CA = 2CE.
∴AH = 2EG.
∵AH//DG,
∴∠AHF = ∠DGF,∠HAF = ∠GDF.
∴△AHF∽△DGF.
∴$\frac{AH}{DG}=\frac{AF}{DF}$.
∴$\frac{2EG}{DG}=\frac{AF}{DF}$.

22. (10分)如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在AD、BC上,将四边形ABFE沿EF翻折,使点A的对称点P落在CD上,点B的对称点为G,PG交BC于点H.
(1) 求证:$\triangle EDP \backsim \triangle PCH$;
(2) 若P为CD的中点,且$AB= 2,BC= 3$,求GH的长.

答案：
(1)
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A = ∠D = ∠C = 90°.
∵将四边形ABFE沿EF翻折,点A的对称点P落在CD上,
∴∠EPG = ∠A = 90°.
∴∠DEP = ∠CPH = 90° - ∠DPE.
∴△EDP∽△PCH.
(2)
∵CD = AB = 2,AD = BC = 3,P为CD的中点,
∴$PD = PC=\frac{1}{2}CD = 1$,$PE = AE = 3 - ED$.
∵$PD^2+ED^2 = PE^2$,
∴$1^2+ED^2=(3 - ED)^2$,解得$ED=\frac{4}{3}$.
∴$PE=\frac{5}{3}$.
∵△EDP∽△PCH,
∴$\frac{PE}{HP}=\frac{ED}{PC}=\frac{4}{3}$.
∴$HP=\frac{3}{4}PE=\frac{3}{4}×\frac{5}{3}=\frac{5}{4}$.
∵PG = AB = 2,
∴$GH = PG - HP=\frac{3}{4}$.
∴GH的长为$\frac{3}{4}$.