《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

23. (10分)(2024·北京)在平面直角坐标系中,已知抛物线$y = ax^{2}-2a^{2}x(a\neq0)$.
(1) 当$a = 1$时,求抛物线的顶点坐标.
(2) 已知$M(x_{1},y_{1})和N(x_{2},y_{2})$是抛物线上的两点.若对于$x_{1} = 3a$,$3\leqslant x_{2}\leqslant4$,都有$y_{1}\lt y_{2}$,求$a$的取值范围.

答案：
(1)
∵a=1,
∴y=x²-2x=(x-1)²-1.
∴抛物线的顶点坐标为(1,-1)
(2)① 当a＞0时,点M(x₁,y₁)和点N(x₂,y₂)都在对称轴右侧,此时y随x的增大而增大.
∵y₁＜y₂,
∴x₁＜x₂.
∴3a＜3.
∴0＜a＜1;② 当a＜0时,点M(x₁,y₁)在对称轴左侧,点N(x₂,y₂)在对称轴右侧,点M(3a,y₁)关于对称轴的对称点(-a,y₁)在对称轴右侧,在对称轴右侧,y随x的增大而减小.
∵y₁＜y₂,
∴-a＞4.
∴a＜-4.综上,0＜a＜1或a＜-4

24. (10分)(2024·攀枝花)在平面直角坐标系中,已知二次函数的表达式为$y = ax^{2}+bx + 3(a\gt0)$.
(1) 若$a = 1$,且点$(2,3)$在函数的图像上,求此时函数的最小值;
(2) 若函数的图像经过点$(-1,-1)$,当自变量$x的值满足x\geqslant - 1$时,$y随x$的增大而增大,求$a$的取值范围;
(3) 若函数的图像的对称轴为直线$x = 2$,点$A(m,y_{1})$、$B(m + 1,y_{2})$在函数的图像上,且总有$y_{1}\gt y_{2}$,求$m$的取值范围.

答案：
(1)若a=1,则二次函数的表达式为y=x²+bx+3.将(2,3)代入,得3=4+2b+3,则b=-2.
∴二次函数的表达式为y=x²-2x+3.
∵y=x²-2x+3=(x-1)²+2≥2,
∴函数的最小值为2
(2)将(-1,-1)代入函数表达式,得-1=a-b+3.
∴b=a+4.
∵当x≥-1时,y随x的增大而增大,
∴a＞0,x=-b/(2a)=-(a+4)/(2a)≤-1.
∴0＜a≤4
(3)由题意得,|m-2|＞|m+1-2|,即(m-2)²＞(m-1)²,解得m＜3/2