《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

8. 如图,$\overset{\frown}{AB}所对圆心角∠AOB= 90^{\circ }$,半径为6,C是OB的中点,D是$\overset{\frown}{AB}$上一点,把CD绕点C逆时针旋转$90^{\circ }$得到CE,连接AE,则AE长的最小值是____.

答案：
3√10 - 6 解析:如图,连接OD,以OC为边向下作正方形OCTH,连接AT、ET.
∵OA=OB=6,OC=OH=3,
∴AH=AO+OH=6+3=9.
∴AT=√(AH²+HT²)=√(9²+3²)=3√10.
∵∠OCT=∠ECD=90°,
∴∠OCD=∠TCE.在△OCD和△TCE中,
∵{CO=CT,∠OCD=∠TCE,CD=CE,}
∴△OCD≌△TCE.
∴ET=OD=6.
∴点E在以定点T为圆心、6为半径的⊙T上运动.由图可知,当点A、E、T在同一直线上时,AE长的值最小.
∴AE长的最小值为3√10 - 6.

9. 如图,在$△ABC$中,$∠BAC= 30^{\circ }$,AD是$△ABC$的高,且$AD= 6,△ABC$的面积的最小值是____.

答案：
72 - 36√3 解析:如图,设△ABC的外接圆的圆心为点O,半径为r,连接OA、OB、OC,过点O作OH⊥BC,垂足为H.
∵∠BOC=2∠BAC=60°,OA=OC,
∴△OBC是等边三角形.
∴OA=OB=OC=BC=r.
∵OH⊥BC,
∴易得OH=(√3/2)r.
∵OA+OH≥AD,
∴r+(√3/2)r≥6,
∴r≥12(2 - √3).
∴BC长的最小值为12(2 - √3).
∴△ABC的面积的最小值为1/2×12(2 - √3)×6=72 - 36√3.

10. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠B= 90^{\circ },∠A= 60^{\circ },BC= 9$,点D在线段BC上,且$BD= 1$,E是线段AC上的一动点,连接DE,将四边形ABDE沿直线DE翻折,得到四边形FGDE,连接CF,则线段CF长的最小值为____.

答案：
8 - 2√7 解析:在Rt△ABC中,BC=9,∠A=60°,
∴∠C=90° - ∠A=30°.
∴AC=2AB.根据勾股定理得,AC² - AB²=BC²,
∴(2AB)² - AB²=9².
∴AB=3√3.如图,连接AD、DF.在Rt△ABD中,AB=3√3,BD=1,
∴AD=√(AB²+BD²)=2√7.由翻折知,DA=DF=2√7.
∴点F在以点D为圆心、AD为半径的圆上的一段弧上.
∴当点F在线段DC上时,CF的长最小,最小值为BC - BD - DF=9 - 1 - 2√7=8 - 2√7.

11. (15分)(2025·盐城亭湖模拟)如图,在矩形ABCD中,$AB= 4,AD= 3$,点E在AB上,且$BE= 1$,M、F分别为边DC、BC上的动点,将$△BEF$沿直线EF翻折得到$△NEF$,连接AM、MN,求$AM+MN$的最小值.

答案：
作点A关于CD的对称点H,连接EH,如图所示.
∵AD=3,
∴AH=2AD=6.
∵△BEF沿直线EF翻折得到△NEF,
∴△BEF≌△NEF.
∴BE=NE=1.
∴点N在以点E为圆心、1为半径的圆上.
∴AE=AB - BE=4 - 1=3.
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠DAB=90°.在Rt△HAE中,HE=√(AE²+AH²)=√(3²+6²)=3√5.
∴当H、M、N、E四点共线时,HM+MN最小,最小值为HE - NE=3√5 - 1.
∴AM+MN的最小值为3√5 - 1.

12. (15分)如图,在矩形ABCD中,$AB= 4,BC= 6$,E是AB的中点,F是BC边上一动点,将$△BEF$沿着EF翻折,使得点B落在点$B'$处,矩形内有一动点P,连接$PB'$、PC、PD,求$PB'+\sqrt {2}PC+PD$的最小值.

答案：
如图,将△CPD绕点C顺时针旋转90°得到△CP'D',则B、C、D'三点共线,CD'=CD=AB=4,PP'=√2PC.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠EBD'=90°.
∵EB=1/2AB=2,BD'=6+4=10,
∴ED'=√(BE²+D'B²)=√(2²+10²)=2√26.
∵EB'=EB=2,
∴点B'的运动轨迹是以点E为圆心、EB为半径的⊙E.
∵EB'+PB'+√2PC+PD=EB'+PB'+PP'+P'D'≥ED'=2√26,
∴PB'+√2PC+PD的最小值为2√26 - 2.