《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

17. (8分)已知二次函数$ y = x ^ { 2 } - 4 x + 3 $.
(1)补全表格,在如图所示的平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图像;
| x | … | | | | | | … |
| y | … | | | | | | … |
(2)根据图像回答:当$ 0 \leqslant x ＜ 3 $时,y的取值范围是____.

答案：

(1)列表:
x ... 0 1 2 3 4 ...
y ... 3 0 -1 0 3 ...
描点、连线画出的二次函数图像如图所示
(2)-1≤y≤3 解析:由图像,知当0≤x ＜ 3时,y的取值范围是-1≤y≤3.

18. (8分)(2024·扬州)如图,二次函数$ y = - x ^ { 2 } + b x + c $的图像与x轴交于$ A ( - 2, 0 ) $、$ B ( 1, 0 ) $两点.
(1)求b、c的值;
(2)若点P在该二次函数的图像上,且$ \triangle P A B $的面积为6,求点P的坐标.

答案：
(1)把A(-2,0)、B(1,0)代入y=-x²+bx+c,得$\begin{cases}-4 - 2b + c =0 \\-1 + b + c =0 \end{cases}$ ,解得$\begin{cases}b=-1 \\c=2 \end{cases}$
(2)由
(1)知,二次函数的表达式为y=-x² - x+2.设点P的坐标为(m,-m² - m+2).
∵△PAB的面积为6,AB=1 - (-2)=3,
∴S_{△PAB}=$\frac{1}{2}$AB·|y_P|=$\frac{1}{2}$×3×|-m² - m+2|=6.
∴|m²+m - 2|=4,即m²+m - 2=4或m²+m - 2=-4,解得m=-3或m=2.
∴点P的坐标为(-3,-4)或(2,-4)

19. (8分)(2024·陕西)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索$ L _ { 1 } 与缆索 L _ { 2 } $均呈抛物线形,桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面.如图,以O为原点,以直线$ F F ^ { \prime } $为x轴,以桥塔AO所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知缆索$ L _ { 1 } 所在抛物线与缆索 L _ { 2 } $所在抛物线关于y轴对称,桥塔AO与桥塔BC之间的距离$ O C = 100 m $,$ A O = B C = 17 m $,缆索$ L _ { 1 } $的最低点P到$ F F ^ { \prime } 的距离 P D = 2 m $(桥塔的粗细忽略不计).
(1)求缆索$ L _ { 1 } $所在抛物线对应的函数表达式;
(2)若点E在缆索$ L _ { 2 } $上,$ E F \perp F F ^ { \prime } $,且$ E F = 2.6 m $,$ F O ＜ O D $,求FO的长.

答案：
(1)由题意,知AO=17 m.
∴A(0,17).又
∵OC=100 m,缆索L₁的最低点P到FF'的距离PD=2 m,
∴抛物线的顶点P的坐标为(50,2).设缆索L₁所在抛物线对应的函数表达式为y=a(x - 50)²+2.将A(0,17)代入,得2500a+2=17.
∴a=$\frac{3}{500}$.
∴缆索L₁所在抛物线对应的函数表达式为y=$\frac{3}{500}$(x - 50)²+2
(2)
∵缆索L₁所在抛物线与缆索L₂所在抛物线关于y轴对称,且缆索L₁所在抛物线为y=$\frac{3}{500}$(x - 50)²+2,
∴缆索L₂所在抛物线对应的函数表达式为y=$\frac{3}{500}$(x + 50)²+2.令y=2.6,得2.6=$\frac{3}{500}$(x + 50)²+2.
∴x=-40或x=-60.
∵FO ＜ OD,OD=50 m,
∴x=-40.
∴FO的长为40 m