《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

8. 新趋势 跨学科(2024·深圳三模)小明在科普读物中了解到每种介质都有自己的折射率,当光从空气射入该介质时,折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比,即折射率$n= \frac {sini}{sinγ}$(i为入射角,γ为折射角).如图,一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面,经折射后沿垂直AC边的方向射出.已知$i= 30^{\circ },AB= 15cm,BC= 5cm$,则该玻璃透镜的折射率n为(C)
A.1.8
B.1.6
C.1.5
D.1.4

答案： C 解析:如图.
∵折射光线沿垂直AC边的方向射出,
∴β+∠A=90°.
∵法线垂直于AB,
∴γ+β=90°.
∴γ=∠A.
∴sinγ=sinA=(BC)/(AB)=
(1)/3.
∴n=(sini)/(sinγ)=(sin30°)/(sinA)=(1/2)÷(1/3)=1.5.

9. 比较大小:$sin80^{\circ }$＞$sin50^{\circ }$(填“＞”“＜”或“=”).

答案： ＞ 解析:由一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大可知,sin80°＞sin50°.

10. (2024·苏州姑苏段考)已知$\frac {1}{2}＜cosA＜sin70^{\circ }$,则锐角$∠A$的取值范围是____20°＜∠A＜60°.

答案： 20°＜∠A＜60° 解析:
∵∠A是锐角,
∴0°＜∠A＜90°.
∵
(1)/2=cos60°,sin70°=cos20°,
∴cos60°＜cosA＜cos20°.
∴20°＜∠A＜60°.

11. 在$Rt\triangle ABC$中,已知$∠C= 90^{\circ },sinA= \frac {1}{3}$,则$tanB$的值是2√2.

答案： 2√2 解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=
(1)/3=(BC)/(AB).
∴设BC=x,则AB=3x.由勾股定理,得AC=√(AB²-AC²)=2√2x.
∴tanB=(AC)/(BC)=2√2.

12. (2024·盐城大丰段考)在$\triangle ABC$中,若$∠A$、$∠B满足|sinA-\frac {\sqrt {3}}{2}|+(cosB-\frac {1}{2})^{2}= 0$,则$\triangle ABC$按边分是等边三角形.

答案： 等边 解析:根据题意得,sinA-(√3)/2=0,且cosB-
(1)/2=0.
∴sinA=(√3)/2,cosB=
(1)/2.
∴∠A=60°,∠B=60°.
∴△ABC是等边三角形.

13. (2024·温州期中)如图,将圆桶中的水倒入一个直径为4dm、高为5dm的圆口容器中,放置时圆桶顶部与水平线的夹角为$60^{\circ }$,且容器中的水面不能与圆桶接触,则该容器中水的深度要小于5-√3dm.

答案： (5-√3) 解析:如图.
∵圆桶放置的角度与水平线的夹角为60°,∠BCA=90°,
∴易得△ABC是一个斜边为4dm的直角三角形.
∴∠ABC=60°,AB=4dm.
∴BC=
(1)/2AB=2dm,AC=√(AB²-BC²)=2√3(dm).
∴△ABC中斜边上的高应该为(AC·BC)/(AB)=(2×2√3)/4=√3(dm).
∵圆口容器的高为5dm,
∴该容器中水的深度要小于(5-√3)dm.

14. (2024·资阳)如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形($\triangle ABE$、$\triangle BCF$、$\triangle CDG$、$\triangle DAH$)和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD.若$EF:AH= 1:3$,则$sin∠ABE= $$\frac{4}{5}$.

答案：
(4)/5 解析:根据题意,设EF=x,则AH=3x.
∵△ABE≌△DAH,四边形EFGH为正方形,
∴AH=BE=3x,EF=HE=x.
∴AE=4x.
∵∠AEB=90°,
∴AB=√(AE²+BE²)=5x.
∴sin∠ABE=(AE)/(AB)=(4x)/(5x)=
(4)/5.

15. 在$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,a、b、c分别为$∠A$、$∠B$、$∠C$的对边.若$b^{2}= ac$,则$sinA$的值为____(√5-1)/2.

答案： (√5-1)/2 解析:在△ABC中,∠C=90°,
∴c²=a²+b².
∵b²=ac,
∴c²=a²+ac.等式两边同时除以ac,得(c)/(a)=(a)/(c)+1.令(a)/(c)=x,则有
(1)/x=x+1.
∴x²+x-1=0,解得x₁=(√5-1)/2,x₂=(-1-√5)/2(不合题意,舍去).当x=(√5-1)/2时,
(1)/x≠0.
∴x=(√5-1)/2是原分式方程的解.
∴sinA=(a)/(c)=(√5-1)/2.

16. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 5,cos∠ABC= \frac {3}{5}$,P为边AC上一点,则BP长的取值范围是$\frac{24}{5}\leq BP\leq 6$.

答案：
(24)/5≤BP≤6 解析:如图,过点A作BC的垂线,垂足为M.在Rt△ABM中,cos∠ABC=(BM)/(AB).
∴BM=
(3)/5×5=3.
∴AM=√(5²-3²)=4.
∵AB=AC,
∴BC=2BM=6.过点B作AC的垂线,垂足为N.
∵S△ABC=
(1)/2BC·AM=
(1)/2AC·BN,
∴BN=(BC·AM)/(AC)=(6×4)/5=
(24)/5,即BP的最小值为
(24)/5.当点P在点C处时,BP取得最大值6,
∴BP长的取值范围是
(24)/5≤BP≤6.

17. (8分)计算:$2sin60^{\circ }+3tan30^{\circ }-tan^{2}45^{\circ }$.

答案： 原式=2×(√3)/2+3×(√3)/3-1²=√3+√3-1=2√3-1